Se il supf'(x)<0 allora f e' illimitata

[ludovica.sarandrea]

Buongiorno,
Ho questo esercizio "sia $f:R->R$ una funzione continua e derivabile, allora se $supf'(x)<0$ la funzione e' illimitata"
Io ho pensato di fare cosi.
Indico il sup come M, quindi essendo il sup il minimo dei maggioranti quindi M-ε non sara' un maggiorante per cui esistera' un y tale che $f'(y)>M-ε$ con $f'(y)f'(y)>M-ε$ in particolare $0>M>f'(y)>M-ε$ quindi per ogni punto y la derivata $f'(y)$ e' minore di 0. La derivata di una funzione e' il coefficente della retta tangente e quindi la pendenza della tangente e' minore di zero e in particolare e' diversa da zero. L'unico caso in cui la funzione f e' limitata e' il caso in cui ammetta asintoto obliquo e quindi il coefficente della tangente in quel punto dovrebbe essere zero, cosa impossibile per ipotesi, posso dedurre che quindi la funzione potra' avere solo un asintoto obliquo che manda quindi la funzione ad infinito e la rende illimitata

[Rigel1]

Mi sembra che il tuo ragionamento faccia un po' acqua (in particolare, non è detto che la funzione ammetta asintoti obliqui).
Più semplicemente, detto \(M := \sup f'\), per definizione hai che \(f'(x) \leq M\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\).
Sia \(x > 0\); per il teorema di Lagrange esiste un punto \(\xi \in (0, x)\) tale che
\[
f(x) - f(0) = f'(\xi) x \leq M x,
\]
dunque
\[
f(x) \leq f(0) + M x,\qquad \forall x > 0.
\]
Poiché \(M< 0\), questo mostra che \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty\).
Allo stesso modo puoi dimostrare che
\[
f(x) \geq f(0) + M x,\qquad \forall x < 0,
\]
da cui segue che \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty\).

[anto_zoolander]

@rigel

[ot]Insegnami [/ot]

[ludovica.sarandrea]

"Rigel":Mi sembra che il tuo ragionamento faccia un po' acqua (in particolare, non è detto che la funzione ammetta asintoti obliqui).
Più semplicemente, detto \(M := \sup f'\), per definizione hai che \(f'(x) \leq M\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\).
Sia \(x > 0\); per il teorema di Lagrange esiste un punto \(\xi \in (0, x)\) tale che
\[
f(x) - f(0) = f'(\xi) x \leq M x,
\]
dunque
\[
f(x) \leq f(0) + M x,\qquad \forall x > 0.
\]
Poiché \(M< 0\), questo mostra che \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty\).
Allo stesso modo puoi dimostrare che
\[
f(x) \geq f(0) + M x,\qquad \forall x < 0,
\]
da cui segue che \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty\).

Forse sarà una domanda banale ma mi sfugge come dall'ultima cosa che hai scritto sulla prima parte poi reduci che il limite a più infinito è meno infinito
E altra domanda: non basta dimostrarne una delle due di disuguaglianze per avere che è illimitata?

[Rigel1]

"ludovica_97":
Forse sarà una domanda banale ma mi sfugge come dall'ultima cosa che hai scritto sulla prima parte poi reduci che il limite a più infinito è meno infinito
E altra domanda: non basta dimostrarne una delle due di disuguaglianze per avere che è illimitata?

Se hai
\[
f(x) \leq f(0) + M x,\qquad \forall x > 0,
\]
con \(M < 0\), vedi bene che il secondo membro tende a \(-\infty\) quando \(x \to +\infty\). A questo punto applichi il teorema del confronto per concludere che anche \(f(x) \to -\infty\) per \(x\to +\infty\).

Chiaramente questo basta per dimostrare che la funzione non è limitata (inferiormente); secondo me è però istruttivo osservare che non è limitata nemmeno superiormente.

[ludovica.sarandrea]

"Rigel":[quote="ludovica_97"]
Forse sarà una domanda banale ma mi sfugge come dall'ultima cosa che hai scritto sulla prima parte poi reduci che il limite a più infinito è meno infinito
E altra domanda: non basta dimostrarne una delle due di disuguaglianze per avere che è illimitata?

Se hai
\[
f(x) \leq f(0) + M x,\qquad \forall x > 0,
\]
con \(M < 0\), vedi bene che il secondo membro tende a \(-\infty\) quando \(x \to +\infty\). A questo punto applichi il teorema del confronto per concludere che anche \(f(x) \to -\infty\) per \(x\to +\infty\).

Chiaramente questo basta per dimostrare che la funzione non è limitata (inferiormente); secondo me è però istruttivo osservare che non è limitata nemmeno superiormente.[/quote]
Grazie mille ora é chiaro! Gentilissimo