Se A è compatto e B è chiuso in uno sp. metrico

[Sk_Anonymous]

Siano $(X,d)$ uno spazio metrico ed $A, B \subseteq X$ tali che i) $A \cap B = \emptyset$; ii) $A$ è compatto e $B$ è chiuso nella topologia indotta su $X$ dalla distanza. Provare che esiste allora $k \in \mathbb{R}^+$ tale che $d(x,y) \ge k$, per ogni $x \in A$ ed ogni $y \in B$.

[Principe2]

mi pare facile...
la funzione $d(x,B)$=inf${d(x,y),yinB}$ è continua, per cui la sua restrizione ad A (che è compatto) ammette un minimo k, che è positivo, in quanto se fosse nullo avremmo un elemento che è contenuto nell'intersezione di A con la frontiera di B, ovvero, essendo B chiuso, nell'intersezione di A con B. Tale k verifica le condizioni richieste.

[Sk_Anonymous]

Sì, esattamente.