Scrivere y in funzione di x un'equazione
Salve a tutti,
avevo già aperto una discussione su un problema che avevo, ma che ho capito che posso risolvere
semplicemente riscrivendo la seguente equazione con y=f(x). Il problema ora è che non riesco ad estrapolare la y
e a scriverla correttamente.
\[
\displaystyle x=A_{eff}\sqrt{\frac{\gamma}{R}}\left(\frac{1}{y}\right)^{\frac{1}{\gamma}}\sqrt{\frac{2}{\gamma-1}\left[1-\left(\frac{1}{y}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\right]}
\]
avevo già aperto una discussione su un problema che avevo, ma che ho capito che posso risolvere
semplicemente riscrivendo la seguente equazione con y=f(x). Il problema ora è che non riesco ad estrapolare la y
e a scriverla correttamente.
\[
\displaystyle x=A_{eff}\sqrt{\frac{\gamma}{R}}\left(\frac{1}{y}\right)^{\frac{1}{\gamma}}\sqrt{\frac{2}{\gamma-1}\left[1-\left(\frac{1}{y}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\right]}
\]
Risposte
Beh, la prima cosa che viene in mente è porre $Y=(1/y)^(1/gamma)$, chiamare $C=A_("eff") sqrt((2gamma)/(R(gamma - 1)))$ per ricondurre il tutto a:
\[
x = C\ Y\ \sqrt{1-Y^{\gamma -1}}
\]
e poi usare un po' di algebra... Liberando dalla radice (assumo che tutto sia positivo) si trova:
\[
x^2 = C^2\ Y^2\ (1-Y^{\gamma - 1})\quad \Leftrightarrow \quad Y^2 - Y^{\gamma + 1} - \frac{x^2}{C^2} = 0
\]
ma è ovvio che più di tanto non si può fare, se non per particolari valori di $gamma$.
Che te ne devi fare dell'espressione esplicita di $y(x)$?
Non è che puoi fare a meno di conoscerla?
\[
x = C\ Y\ \sqrt{1-Y^{\gamma -1}}
\]
e poi usare un po' di algebra... Liberando dalla radice (assumo che tutto sia positivo) si trova:
\[
x^2 = C^2\ Y^2\ (1-Y^{\gamma - 1})\quad \Leftrightarrow \quad Y^2 - Y^{\gamma + 1} - \frac{x^2}{C^2} = 0
\]
ma è ovvio che più di tanto non si può fare, se non per particolari valori di $gamma$.
Che te ne devi fare dell'espressione esplicita di $y(x)$?
Non è che puoi fare a meno di conoscerla?
whooo, grazie mille, la provo subito.
comunque \(\displaystyle \gamma=1.4 \) e rimane praticamente sempre lo stesso, anzi è fisso.
L'espressione di y mi serve in quanto l'equazione che vedi è quella della portata elaborata da una turbina (che qui ho chiamato x invece di m) in funzione del rapporto di espansione ER (ER qui l'ho chiamato y).
Mi serve scritta esplicitando la y, e quindi ER, in quanto ho il vettore della portata e vorrei risalire al rapporto di espansione e vedere se il ragionamento che sto facendo per dimensionare la turbina è giusto.
comunque \(\displaystyle \gamma=1.4 \) e rimane praticamente sempre lo stesso, anzi è fisso.
L'espressione di y mi serve in quanto l'equazione che vedi è quella della portata elaborata da una turbina (che qui ho chiamato x invece di m) in funzione del rapporto di espansione ER (ER qui l'ho chiamato y).
Mi serve scritta esplicitando la y, e quindi ER, in quanto ho il vettore della portata e vorrei risalire al rapporto di espansione e vedere se il ragionamento che sto facendo per dimensionare la turbina è giusto.
l'ho scritta in questo modo, sostituendo \(\displaystyle R=287.05 \) e \(\displaystyle \gamma=1.4 \).
L'equazione da trasformare è quindi questa:
\(\displaystyle x=A_{eff}\sqrt{\frac{1.4}{287.05}}\left(\frac{1}{y}\right)^{\frac{1}{1.4}}\sqrt{\frac{2}{1.4-1}\left[1-\left(\frac{1}{y}\right)^{\frac{1.4-1}{1.4}}\right]} \)
L'equazione da trasformare è quindi questa:
\(\displaystyle x=A_{eff}\sqrt{\frac{1.4}{287.05}}\left(\frac{1}{y}\right)^{\frac{1}{1.4}}\sqrt{\frac{2}{1.4-1}\left[1-\left(\frac{1}{y}\right)^{\frac{1.4-1}{1.4}}\right]} \)
Forse non mi sono spiegato. Non esiste nessun modo "sensato" per esplicitare quella roba lì per valori interi e, dunque, anche razionali...
Questa non è una cosa inaspettata: infatti, per un noto risultato di Algebra, non esistono formule chiuse "elementari" per le soluzioni della generica equazione algebrica di grado superiore a $4$.
Ed ovviamente la cosa non migliora per esponenti razionali, perché con sostituzioni puoi sempre ricondurti al caso intero.
Ora, se $gamma = 1.4 = 7/5$, la tua equazione si scrive:
$Y^2 - Y^(12/5) - x^2/C^2 = 0$
e con l'ulteriore posizione $eta=Y^(2/5)$ ottieni:
$eta^5 - eta^6 - x^2/C^2 = 0$
che è algebrica di grado $6$, quindi è molto probabile che un'espressione esplicita "elementare" della soluzione nemmeno esista...
Questa non è una cosa inaspettata: infatti, per un noto risultato di Algebra, non esistono formule chiuse "elementari" per le soluzioni della generica equazione algebrica di grado superiore a $4$.
Ed ovviamente la cosa non migliora per esponenti razionali, perché con sostituzioni puoi sempre ricondurti al caso intero.
Ora, se $gamma = 1.4 = 7/5$, la tua equazione si scrive:
$Y^2 - Y^(12/5) - x^2/C^2 = 0$
e con l'ulteriore posizione $eta=Y^(2/5)$ ottieni:
$eta^5 - eta^6 - x^2/C^2 = 0$
che è algebrica di grado $6$, quindi è molto probabile che un'espressione esplicita "elementare" della soluzione nemmeno esista...
Ciao,
ti avevo risposto nella tua prima domanda su MATLAB.
Concordo sul fatto che non riesci a riscrivere l'espressione esplicitando ER.
Ritorno quindi al problema dello script MATLAB.
Mi è venuto in mente un metodo per stampare comunque un grafico con la massa sulle ascisse e il rapporto di espansione sulle ordinate.
Se tu conosci il vettore di portate massiche (lo chiamo m_1), puoi fare così: definisci un vettore abbastanza ampio (cioè con estremi che coprono un range ampio di valori) per il rapporto di espansione (lo chiamo ER_2) e con questo ti calcoli la portata massica con la formula che hai (ottengo così m_2). Molto probabilmente, il vettore delle masse che ottieni conterrà il vettore di masse che avevi noto come dato (mi riferisco ad m_1). A quel punto puoi usare la funzione interp1 per calcolare i rapporti di espansione corrispondenti alle masse che hai come dato iniziale.
Come codice, in pratica, scrivi: ER_1=interp1(m_2, ER_2, m_1).
Può essere una soluzione per il tuo problema?
ti avevo risposto nella tua prima domanda su MATLAB.
Concordo sul fatto che non riesci a riscrivere l'espressione esplicitando ER.
Ritorno quindi al problema dello script MATLAB.
Mi è venuto in mente un metodo per stampare comunque un grafico con la massa sulle ascisse e il rapporto di espansione sulle ordinate.
Se tu conosci il vettore di portate massiche (lo chiamo m_1), puoi fare così: definisci un vettore abbastanza ampio (cioè con estremi che coprono un range ampio di valori) per il rapporto di espansione (lo chiamo ER_2) e con questo ti calcoli la portata massica con la formula che hai (ottengo così m_2). Molto probabilmente, il vettore delle masse che ottieni conterrà il vettore di masse che avevi noto come dato (mi riferisco ad m_1). A quel punto puoi usare la funzione interp1 per calcolare i rapporti di espansione corrispondenti alle masse che hai come dato iniziale.
Come codice, in pratica, scrivi: ER_1=interp1(m_2, ER_2, m_1).
Può essere una soluzione per il tuo problema?
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