Scrivere una parametrizzazione di $ Sigma $ e il versore normale nel punto $ P $
ciao ragazzi vi scrivo il testo di questo esercizio e la mia soluzione con il mio dubbio, mi dareste una mano?
Sia $ Sigma = { (x,y,z) in R^3 : 1<=z<=2 , z^2(x^2+y^2)=1 } $
i) si scriva una parametrizzazione di $ Sigma $
ii) si determini il versore normale esterno a $ Sigma$ nel punto $ (2/3,0,3/2) $
la mia soluzione:
i) \( \overrightarrow{r}(u,v) = \begin{cases} x=u \\ y=v \\ z= {\frac{1}{u^2+v^2}}\end{cases} \)
con \( \ u,v \in [1,{\frac{1}{4}}] \)
calcolo le derivate secondo u e v dell aprametrizzazione:
ii) \( \overrightarrow{r}_u (u,v) = (1 , 0 , {\frac{-u}{u^2+v^2}}^{3/2} ) \)
\( \overrightarrow{r}_v (u,v) = (0 , 1 , {\frac{-v}{u^2+v^2}}^{3/2} ) \)
ora eseguo il prodotto vettoriale tre le due:
\( \overrightarrow{r}_u\times \overrightarrow{r}_v= ( {\frac{u}{u^2+v^2}}^{3/2} , {\frac{v}{u^2+v^2}}^{3/2} , 1 ) \)
ora la norma:
\( ||\overrightarrow{r}_u\times \overrightarrow{r}_v\| = {\sqrt[2]{(u^2+v^2)^2+1}} \)
a questo punto il vettore normale alla superficie $ Sigma $ , \( \overrightarrow{N} \) è
\( \overrightarrow{N}= {\frac{u{\frac{1}{u^2+v^2}^{3/2}\overrightarrow{i}+v{\frac{1}{u^2+v^2}^{3/2}}\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}}}{{\sqrt[2]{(u^2+v^2)^2+1}}}} \)
il mio problema è che devo calcolare \( \overrightarrow{N} \) nel punto $ (2/3,0,3/2) $ come si fa??
grazie mille per l'aiuto!!!!
Sia $ Sigma = { (x,y,z) in R^3 : 1<=z<=2 , z^2(x^2+y^2)=1 } $
i) si scriva una parametrizzazione di $ Sigma $
ii) si determini il versore normale esterno a $ Sigma$ nel punto $ (2/3,0,3/2) $
la mia soluzione:
i) \( \overrightarrow{r}(u,v) = \begin{cases} x=u \\ y=v \\ z= {\frac{1}{u^2+v^2}}\end{cases} \)
con \( \ u,v \in [1,{\frac{1}{4}}] \)
calcolo le derivate secondo u e v dell aprametrizzazione:
ii) \( \overrightarrow{r}_u (u,v) = (1 , 0 , {\frac{-u}{u^2+v^2}}^{3/2} ) \)
\( \overrightarrow{r}_v (u,v) = (0 , 1 , {\frac{-v}{u^2+v^2}}^{3/2} ) \)
ora eseguo il prodotto vettoriale tre le due:
\( \overrightarrow{r}_u\times \overrightarrow{r}_v= ( {\frac{u}{u^2+v^2}}^{3/2} , {\frac{v}{u^2+v^2}}^{3/2} , 1 ) \)
ora la norma:
\( ||\overrightarrow{r}_u\times \overrightarrow{r}_v\| = {\sqrt[2]{(u^2+v^2)^2+1}} \)
a questo punto il vettore normale alla superficie $ Sigma $ , \( \overrightarrow{N} \) è
\( \overrightarrow{N}= {\frac{u{\frac{1}{u^2+v^2}^{3/2}\overrightarrow{i}+v{\frac{1}{u^2+v^2}^{3/2}}\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}}}{{\sqrt[2]{(u^2+v^2)^2+1}}}} \)
il mio problema è che devo calcolare \( \overrightarrow{N} \) nel punto $ (2/3,0,3/2) $ come si fa??
grazie mille per l'aiuto!!!!
Risposte
chiarissimo!! ma la mia parametrizzazione è corretta?
ok!! ma la sai qual'è la cosa più furba di tutte?? è che prima l'avevo svolto pure io con le coordinate polari ma arrivato al fondo mi sono bloccato sullo stesso punto sul quale mi sono bloccato rifacendolo con la param. sbagliata... e tutto perchè P ha 3 coordinate e parametrizzando ho solo due parametri anzichè tre.
ti ringrazio davvero tanto!!!!!
ti ringrazio davvero tanto!!!!!
ti ringrazio anche per la lezione di italiano!!
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