Scrivere una parametrizzazione di Σ e il versore normale nel punto P
Ciao a tutti, ho difficoltà nello svolgere il seguente esercizio:
Sia $ Sigma ={(x,y,z)in R^3: x^2+y^2+z^2=1 , z>=0} $
i) Scrivere una parametrizzazione di $Sigma$
ii) Scrivere il piano tangente e il versore normale nel punto $(1/2,1/2,sqrt2/2)$
iii) Scrivere l'area della superficie
Allora io parametrizzo $ { ( x=cosusenv ),( y=sen usenv ),( z=cosv ):} $
con $u in [0,2pi]$ e $v in [0,pi/2]$
ora calcolo le derivate parziali rispetto a u e v che sono:
$ r_u (u,v) = (sen u senv , cosusenv , 0 ) $
$ r_v (u,v) = (cosucosv, senucosv, -senu) $
ne faccio il prodotto vettoriale e la norma:
$ r_u (u,v) xx r_v (u,v) = (-cosusen^2v,-sen usen^2v,-cosvsenv)$
$ ||r_u (u,v) xx r_v (u,v)||=senv $
per calcolare l'area mi basta fare $ int_(0)^(pi/2) int_(0)^(2pi) senvdvdu = 2pi $ .
Ma per quanto riguardo le richieste del punto due ? Piano tangente e versore normale nel punto $(1/2,1/2,sqrt2/2)$ come faccio ?
Grazie
Sia $ Sigma ={(x,y,z)in R^3: x^2+y^2+z^2=1 , z>=0} $
i) Scrivere una parametrizzazione di $Sigma$
ii) Scrivere il piano tangente e il versore normale nel punto $(1/2,1/2,sqrt2/2)$
iii) Scrivere l'area della superficie
Allora io parametrizzo $ { ( x=cosusenv ),( y=sen usenv ),( z=cosv ):} $
con $u in [0,2pi]$ e $v in [0,pi/2]$
ora calcolo le derivate parziali rispetto a u e v che sono:
$ r_u (u,v) = (sen u senv , cosusenv , 0 ) $
$ r_v (u,v) = (cosucosv, senucosv, -senu) $
ne faccio il prodotto vettoriale e la norma:
$ r_u (u,v) xx r_v (u,v) = (-cosusen^2v,-sen usen^2v,-cosvsenv)$
$ ||r_u (u,v) xx r_v (u,v)||=senv $
per calcolare l'area mi basta fare $ int_(0)^(pi/2) int_(0)^(2pi) senvdvdu = 2pi $ .
Ma per quanto riguardo le richieste del punto due ? Piano tangente e versore normale nel punto $(1/2,1/2,sqrt2/2)$ come faccio ?
Grazie
Risposte
Il vettore normale per definizione è $N=r_u\times r_v$ e quindi il versore si ottiene da questo dividendo per la sua norma.
Per il piano tangente, basta ricordare che se $v=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ è un vettore generico del piano passante per il punto $(x_0,y_0,z_0)$, allora il piano tangente si ottiene facendo il prodotto scalare $v\cdot N$.
Osserva che devi ricavare però i valori di $(u,v)$ che forniscono il punto dato: riesci a calcolarli?
Per il piano tangente, basta ricordare che se $v=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ è un vettore generico del piano passante per il punto $(x_0,y_0,z_0)$, allora il piano tangente si ottiene facendo il prodotto scalare $v\cdot N$.
Osserva che devi ricavare però i valori di $(u,v)$ che forniscono il punto dato: riesci a calcolarli?
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Emar, io capisco la tua buona volontà. Però vorrei sottolineare una cosa: secondo me Sheldor la formula che gli ho scritto la conosce, quello che non capisce è come ricavare i valori di $(u,v)$. Ora, considerando che mi pare che si sia studiato le cose abbastanza bene, dargli la risposta "servita" è un po' controproducente. Infatti gli ho posto la domanda proprio per vedere cosa rispondesse. Comunque va bene, ormai il dado è tratto. 
"ciampax":
Osserva che devi ricavare però i valori di $(u,v)$ che forniscono il punto dato: riesci a calcolarli?
Ecco, è questo il problema. Negli appunti devo aver fatto qualche pasticcio e mi ritrovo con i valori $u= pi/4$ e $v=pi/4$ ma non capisco come sono stati ricavati...sarà sicuramente una cavolata ma è periodo esami e quindi sono fuso
Mi daresti un suggerimento in merito ? (o direttamente la soluzione, anche se non è bello chiederla così...solo che l'esame è domani
)
Il punto generico della parametrizzazione è dato in termini di $u,v$, qui hai dei valori specifici di $x,y,z$. Cosa ti viene in mente?
"ciampax":
Il punto generico della parametrizzazione è dato in termini di $u,v$, qui hai dei valori specifici di $x,y,z$. Cosa ti viene in mente?
Sostituisco $(1/2,1/2,sqrt2/2)$ in $ { ( x=cosusenv ),( y=sen usenv ),( z=cosv ):} $
da $z=cosv$ ricavo $cosv=sqrt2/2$ e quindi $ v=pi/4$ che sostituito in una delle altre due equazioni mi fornisce $u=pi/4$
Corretto ?
Esatto: osserva che la scelta univoca dei valori di $u,v$ viene dalle condizioni imposte dalla parametrizzazione. Se non lo avessi fatto, già la soluzione di $\cos v={\sqrt{2}}/2$ avrebbe portato a due valori $v=\pm\frac{\pi}{4}$.
[ot]
Mi scuso. Mentre scrivevo la risposta tu hai inviato la tua.
Sono il primo che cerca di non dare la "pappa pronta", forse questa volta l'ho fatto accidentalmente. Per fortuna il messaggio non è stato recepito
[/ot]
"ciampax":
Emar, io capisco la tua buona volontà. Però vorrei sottolineare una cosa: secondo me Sheldor la formula che gli ho scritto la conosce, quello che non capisce è come ricavare i valori di $(u,v)$. Ora, considerando che mi pare che si sia studiato le cose abbastanza bene, dargli la risposta "servita" è un po' controproducente. Infatti gli ho posto la domanda proprio per vedere cosa rispondesse. Comunque va bene, ormai il dado è tratto.
Mi scuso. Mentre scrivevo la risposta tu hai inviato la tua.
Sono il primo che cerca di non dare la "pappa pronta", forse questa volta l'ho fatto accidentalmente. Per fortuna il messaggio non è stato recepito
[/ot]
"Emar":
[ot][quote="ciampax"]Emar, io capisco la tua buona volontà. Però vorrei sottolineare una cosa: secondo me Sheldor la formula che gli ho scritto la conosce, quello che non capisce è come ricavare i valori di $(u,v)$. Ora, considerando che mi pare che si sia studiato le cose abbastanza bene, dargli la risposta "servita" è un po' controproducente. Infatti gli ho posto la domanda proprio per vedere cosa rispondesse. Comunque va bene, ormai il dado è tratto.
Mi scuso. Mentre scrivevo la risposta tu hai inviato la tua.
Sono il primo che cerca di non dare la "pappa pronta", forse questa volta l'ho fatto accidentalmente. Per fortuna il messaggio non è stato recepito
[/ot][/quote]Figurati Emar, non ti stavo a fare la predica. E poi lo so che sei uno che risponde con coscienziosità!
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