Scrivere lo sviluppo in serie di Laurent della funzione...
$f(z)=\frac{1}{(z-2i)(z+i)}$ attorno al punto $z=-i$ specificando il raggio dell'intorno in cui vale.
Vorrei sapere, per favore, se lo svolgimento seguente è corretto:
dopo aver scomposto in fratti semplici ottengo:
$f(z)=\frac{1}{3i}\frac{1}{z-2i}-\frac{1}{3i}\frac{1}{z+i}$
Per quanto riguarda la parte $-\frac{1}{3i}\frac{1}{z+i}$ non devo fare niente, è già il suo sviluppo in serie di Laurent, centrato in $z=-i$.
Per quanto riguarda invece $\frac{1}{3i}\frac{1}{z-2i}$ devo fare in modo che sia centrato in $z=-i$ anch'essa. Allora scrivo:
$\frac{1}{3i}\frac{1}{z-2i}=\frac{1}{3i}\frac{1}{z+i-3i}=\frac{1}{3i}\frac{1}{(z+i)[1-\frac{3i}{z+i}]} =\frac{1}{3i}\cdot\frac{1}{z+i}\cdot\frac{1}{1-\frac{3i}{z+i}}$
Trasformando...
$=\frac{1}{3i}\cdot\frac{1}{z+i}\cdot\sum_{n=0}^\infty(\frac{3i}{z+i})^n$
$=\sum_{n=0}^\infty \frac{(3i)^{n-1}}{(z+i)^{n+1}}$
Quindi concludendo lo sviluppo è:
$f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(3i)^{n-1}}{(z+i)^{n+1}} - \frac{1}{3i}\frac{1}{z+i}$
Il raggio in cui vale dovrebbe essere pari a 3. Circonferenza di centro $(0,-i)$ e raggio 3. Dico raggio=3 perché sto traccio una circonferenza con un raggio massimo per cui l'altro punto singolare ($z=2i$) resti fuori. Di questo non sono sicurissimo se si faccia così.
Spero di non aver fatto errori!
Vorrei sapere, per favore, se lo svolgimento seguente è corretto:
dopo aver scomposto in fratti semplici ottengo:
$f(z)=\frac{1}{3i}\frac{1}{z-2i}-\frac{1}{3i}\frac{1}{z+i}$
Per quanto riguarda la parte $-\frac{1}{3i}\frac{1}{z+i}$ non devo fare niente, è già il suo sviluppo in serie di Laurent, centrato in $z=-i$.
Per quanto riguarda invece $\frac{1}{3i}\frac{1}{z-2i}$ devo fare in modo che sia centrato in $z=-i$ anch'essa. Allora scrivo:
$\frac{1}{3i}\frac{1}{z-2i}=\frac{1}{3i}\frac{1}{z+i-3i}=\frac{1}{3i}\frac{1}{(z+i)[1-\frac{3i}{z+i}]} =\frac{1}{3i}\cdot\frac{1}{z+i}\cdot\frac{1}{1-\frac{3i}{z+i}}$
Trasformando...
$=\frac{1}{3i}\cdot\frac{1}{z+i}\cdot\sum_{n=0}^\infty(\frac{3i}{z+i})^n$
$=\sum_{n=0}^\infty \frac{(3i)^{n-1}}{(z+i)^{n+1}}$
Quindi concludendo lo sviluppo è:
$f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(3i)^{n-1}}{(z+i)^{n+1}} - \frac{1}{3i}\frac{1}{z+i}$
Il raggio in cui vale dovrebbe essere pari a 3. Circonferenza di centro $(0,-i)$ e raggio 3. Dico raggio=3 perché sto traccio una circonferenza con un raggio massimo per cui l'altro punto singolare ($z=2i$) resti fuori. Di questo non sono sicurissimo se si faccia così.
Spero di non aver fatto errori!
Risposte
Scusa, ma visto che la funzione iniziale è $1/(z+i)*1/(z-2i)$, non sarebbe più semplice fare lo sviluppo di Laurent di $1/(z-2i)$ e moltiplicarlo per $1/(z+i)$?
Non lo so, ma quello che vorrei sapere ora, a prescindere da tecniche più o meno migliori di quella che uso io per risolvere questo tipo di esercizi, è se il risultato finale sia corretto.
Comunque, mi sembra di dedurre che quello che suggerisci tu sia più o meno la stessa cosa che ho fatto io, solo che ottenuto in meno passaggi. O sbaglio?
Comunque, mi sembra di dedurre che quello che suggerisci tu sia più o meno la stessa cosa che ho fatto io, solo che ottenuto in meno passaggi. O sbaglio?
Scusa ma come fa il tuo sviluppo ad essere corretto?
La tua $f$ ha un polo d'ordine $1$ in $-i$, mentre nello sviluppo di Laurent da te determinato compaiono tutte le potenze negative di $z+i$ cosicché $-i$ è una singolarità essenziale per la somma di tale serie... Ergo quella non è la serie di Laurent di $f$.
L'errore è questo: per trovare lo sviluppo di Laurent di $1/(z-2i)$ devi mettere in evidenza $-3i$ e non $z+i$.
La tua $f$ ha un polo d'ordine $1$ in $-i$, mentre nello sviluppo di Laurent da te determinato compaiono tutte le potenze negative di $z+i$ cosicché $-i$ è una singolarità essenziale per la somma di tale serie... Ergo quella non è la serie di Laurent di $f$.
L'errore è questo: per trovare lo sviluppo di Laurent di $1/(z-2i)$ devi mettere in evidenza $-3i$ e non $z+i$.
Porca miseria!
Non so perché abbia commesso quell'errore, sicuro o per distrazione o perché ho ancora qualche dubbio, comunque ecco... l'ho rifatto.
$\frac{1}{z-2i}=\frac{1}{-3i(1-\frac{z+i}{3i})}=-\frac{1}{3i}\sum_{n=0}^\infty (\frac{z+i}{3i})^n$
Quindi, riepilogando dovrebbe essere così, lo sviluppo totale:
$f(z)=1/9\sum_{n=0}^\infty (\frac{z+i}{3i})^n - 1/{3i}\frac{1}{z+i}$
Ma in pratica come mi accorgo se sto sbagliando a raccogliere??? Non devono esserci termini a potenze negative?
Grazie mille
Non so perché abbia commesso quell'errore, sicuro o per distrazione o perché ho ancora qualche dubbio, comunque ecco... l'ho rifatto.
$\frac{1}{z-2i}=\frac{1}{-3i(1-\frac{z+i}{3i})}=-\frac{1}{3i}\sum_{n=0}^\infty (\frac{z+i}{3i})^n$
Quindi, riepilogando dovrebbe essere così, lo sviluppo totale:
$f(z)=1/9\sum_{n=0}^\infty (\frac{z+i}{3i})^n - 1/{3i}\frac{1}{z+i}$
Ma in pratica come mi accorgo se sto sbagliando a raccogliere??? Non devono esserci termini a potenze negative?
Grazie mille
Io avrei scritto in maniera compatta:
$f(z)=-\sum_(n=-1)^(+oo) 1/(3i)^(n+2)(z+i)^n$
però stiamo dicendo la stessa cosa; il risultato è quello corretto.
La presenza di "poche" o "tante" potenze negative di $z-z_0$ è la differenza che passa tra singolarità di tipo polare e di tipo essenziale; questo è il punto da cui parte la classificazione delle singolarità isolate.
P.S.: Qui "poche" significa "un numero finito", mentre "tante" sta per "un'infinità numerabile".
$f(z)=-\sum_(n=-1)^(+oo) 1/(3i)^(n+2)(z+i)^n$
però stiamo dicendo la stessa cosa; il risultato è quello corretto.
La presenza di "poche" o "tante" potenze negative di $z-z_0$ è la differenza che passa tra singolarità di tipo polare e di tipo essenziale; questo è il punto da cui parte la classificazione delle singolarità isolate.
P.S.: Qui "poche" significa "un numero finito", mentre "tante" sta per "un'infinità numerabile".
OK, grazie infinite!
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