Scrivere lo sviluppo di Taylor di queste funzioni
Salve devo scrivere lo sviluppo di Taylor di alcune funzioni con punto iniziale [tex]x_0=0[/tex] e di ordine 4:
cominciamo con [tex]e^{x^2}[/tex]
utilizziamo lo sviluppo della funzione esponenziale:
[tex]e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+ \frac{z^3}{3!}+ ... + \frac{z^n}{n!}+o(z^n)[/tex]
lo sviluppo richiesto è di ordine 4, quindi tenendo conto che dobbiamo sostituire [tex]z=x^2[/tex] possiamo arrestare lo sviluppo dell'esponenziale all'ordine 2
[tex]e^{x^2}=1+x^2+\frac{(x^2)^2}{2!}+o((x^2)^2)=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+o(x^4)[/tex]
è giusto?
poi vorrei sapere se è corretto quest'altro sviluppo:
[tex]e^x-x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)[/tex]-1[tex]=+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)[/tex]
quel -1 può essere quello che succede a x? e nel caso fosse stata [tex]e^x-x+1[/tex]?
cominciamo con [tex]e^{x^2}[/tex]
utilizziamo lo sviluppo della funzione esponenziale:
[tex]e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+ \frac{z^3}{3!}+ ... + \frac{z^n}{n!}+o(z^n)[/tex]
lo sviluppo richiesto è di ordine 4, quindi tenendo conto che dobbiamo sostituire [tex]z=x^2[/tex] possiamo arrestare lo sviluppo dell'esponenziale all'ordine 2
[tex]e^{x^2}=1+x^2+\frac{(x^2)^2}{2!}+o((x^2)^2)=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+o(x^4)[/tex]
è giusto?
poi vorrei sapere se è corretto quest'altro sviluppo:
[tex]e^x-x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)[/tex]-1[tex]=+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)[/tex]
quel -1 può essere quello che succede a x? e nel caso fosse stata [tex]e^x-x+1[/tex]?
Risposte
[tex]e^x -x +1 = \frac{x^5}{120}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}+2+o(x^5)[/tex]
Ma quindi gli altri esercizi che ho scritto sono giusti?il procedimento è quello?
nota però che
[tex]e^x -x = +\frac{x^4}{24}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}+1+o(x^4)[/tex]
[tex]e^x -x = +\frac{x^4}{24}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}+1+o(x^4)[/tex]
quindi sarebbe
[tex]e^x-x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)[/tex]-x[tex]=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)[/tex]
e non -1 come avevo scritto io?
ma la soluzione di [tex]e^x-x+1[/tex] che hai scritto tu è di ordine 5?per avere di ordine 4 devo solo "fermarmi prima"?
grazie per l'aiuto
:)
[tex]e^x-x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)[/tex]-x[tex]=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)[/tex]
e non -1 come avevo scritto io?
ma la soluzione di [tex]e^x-x+1[/tex] che hai scritto tu è di ordine 5?per avere di ordine 4 devo solo "fermarmi prima"?
grazie per l'aiuto
:)
ti fermi all'ordine che ti serve nel contesto in cui ti trovi, si
se mi trovo con [tex]e^{-x+1}[/tex] utilizzo sempre lo sviluppo della funzione esponenziale, ma sostituento [tex]z=-x+1[/tex]. In questo modo mi ritrovo a calcolare quadrati e cubi di polinomio([tex]... + \frac{(-x+1)^3}{3!} +...[/tex]) ma è giusto?in generale si applicano queste sotituizioni partendo da sviluppi notevoli?
esatto.
Parti dagli sviluppi noti ( o te li scrivi) e poi sostituisci opportunamente
Parti dagli sviluppi noti ( o te li scrivi) e poi sostituisci opportunamente
un altra piccola domanda
l'ordine che determina quando devo arrestare lo sviluppo di Taylor da cosa è dato? spiego il mio dubbio
ora devo fare lo sviluppo di Taylor della funzione seno e arrestarla come sempre all'ordine 4: come faccio?
dato lo sviluppo di Taylor del seno
$sen x=x-\frac{x^3}{3!}+ ... + (-1)^n \frac{x^(2n+1)}{(2n+1)!}+o(x^(2n+1))$
4(l'ordine)devo sostituirlo alla n?oppure devo fermarmi a $sen x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$ ?cosicchè non si "superi" $o(x^4)$
scusate la totale ignoranza
l'ordine che determina quando devo arrestare lo sviluppo di Taylor da cosa è dato? spiego il mio dubbio
ora devo fare lo sviluppo di Taylor della funzione seno e arrestarla come sempre all'ordine 4: come faccio?
dato lo sviluppo di Taylor del seno
$sen x=x-\frac{x^3}{3!}+ ... + (-1)^n \frac{x^(2n+1)}{(2n+1)!}+o(x^(2n+1))$
4(l'ordine)devo sostituirlo alla n?oppure devo fermarmi a $sen x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$ ?cosicchè non si "superi" $o(x^4)$
scusate la totale ignoranza
scusate forse per voi è banale ma io ancora non sono riuscito a chiarire il dubbio posto nell'ultimo post..qualcuno sa dirmi qualcosa?
Scusa ma lo hai scritto tu stesso:
[tex]$sin x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{1+2n}}{(1+2n)!}$[/tex]
cioè:
[tex]$sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} - \frac{x^{11}}{11!} .... + \frac{(-1)^n x^{1+2n}}{(1+2n)!} + o(x^{2n+1})$[/tex]
Puoi arrestarti all'ordine [tex]$1[/tex], [tex]$3[/tex] ,[tex]$5[/tex] , [tex]$7[/tex] , insomma come ti conviene nell'esercizio.
Non ci sono ordini pari, come noti dalla forma estesa della serie.
Per esempio arrestandoci al terzo ordine, abbiamo:
[tex]$sinx = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^4)$[/tex]
[tex]$sin x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{1+2n}}{(1+2n)!}$[/tex]
cioè:
[tex]$sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} - \frac{x^{11}}{11!} .... + \frac{(-1)^n x^{1+2n}}{(1+2n)!} + o(x^{2n+1})$[/tex]
Puoi arrestarti all'ordine [tex]$1[/tex], [tex]$3[/tex] ,[tex]$5[/tex] , [tex]$7[/tex] , insomma come ti conviene nell'esercizio.
Non ci sono ordini pari, come noti dalla forma estesa della serie.
Per esempio arrestandoci al terzo ordine, abbiamo:
[tex]$sinx = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^4)$[/tex]
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