Scrittura potenze ambigua.

[biowep]

Salve.
Volevo chiedervi alcuni chiarimenti riguardo la notazione delle potenze ad esponente razionale. Vorrei sapere se prima bisogna scrivere la radice o la potenza intera quando si hanno esponenti nella forma \(\displaystyle \frac{a}{b} \).
Scrivo un esempio per spiegarmi meglio:
\(\displaystyle x^\frac{3}{2} \) è uguale a \(\displaystyle \sqrt{x^3} \) oppure a \(\displaystyle \left(\sqrt x\right)^3 \)
Per quel che so io entrambi producono lo stesso risultato a causa della commutatività del prodotto.
\(\displaystyle \sqrt{x^3} = (x^3)^\frac{1}{2} = x^{3*\frac{1}{2}} = x^\frac{3}{2} \)
\(\displaystyle (\sqrt x)^3 = \left(x^\frac{1}{2}\right)^3 = x^{\frac{1}{2}*3} = x^\frac{3}{2} \)

[SaraSueEss]

Mi sembra esatto, non vedo l'ambiguità. La situazione particolare determina la forma più adatta e quindi quella da utilizzare, ma alla fine credo che sia più un fatto di estetica e chiarezza, oltre che soggettivo.

[DavideGenova1]

Spero di non dire scemenze e di essere corretto se le dico, ma mi sento di aggiungere, se può servire, che per ogni $z\in\mathbb{C}$ e $n,m\in\mathbb{Z}$ valga in generale\[z^{n/m}=(z^{1/m})^n\]e più in generale per ogni $c\in\mathbb{C}$ valga \(z^{cn}=(z^c)^n\), ma non \(z^{n/m}=(z^n)^{1/m}\).

[axpgn]

Secondo me, non sono intercambiabili le due scritture.
In campo reale a questa "cosa" $root(4)(-2^2)$ un senso glielo troviamo ma a questa $(root(4)(-2))^2$ no.

[stormy1]

$-2^2=-4$
$(-2)^2=4$

[Palliit]

axpgn: in campo reale, la potenza ad esponente razionale (e, più in generale, reale) è definita con base non negativa. Viceversa si dovrebbe rinunciare a proprietà più fondamentali, come quella commutativa del prodotto (per esempio $2*1/4$ non sarebbe più equivalente a $1/4*2$ se fosse inteso come esponente di un numero negativo) o di equivalenza tra frazioni (ad esempio, $1/3$ non sarebbe più equivalente a $2/6$).

DavideGenova: (rispetto all'ultima tua affermazione) perché?

[DavideGenova1]

Grazie, Palliit, per l'intervento! Ho corretto il messaggio di sopra dove avevo usato $p,q$ al posto di $n,m$ nell'ultima riga, introducendo una notazione diversa. Spero di essere corretto se mi sono convinto di qualche scempiaggine... Direi che \[\forall z\in\mathbb{C}\forall n,m\in\mathbb{Z}\quad z^{n/m}=(z^{1/m})^n\]perché, per \(z=|z|e^{\text{i}\theta}\), \(z^{\frac{n}{m}}:=e^{\frac{n}{m}\log z}=|z|^{\frac{n}{m}}e^{\text{i}\frac{n}{m}\arg z }=|z|^{\frac{n}{m}}e^{\text{i}\frac{n}{m}(\theta+2\pi k)}\) per qualunque \(k\in\mathbb{Z}\) data la polidromia dell'argomento e, d'altra parte, \((z^{\frac{1}{m}})^n:=(e^{\frac{1}{m}\log z})^n=(|z|^{\frac{1}{m}}e^{\text{i}\frac{1}{m}\arg z })^n=(|z|^{\frac{1}{m}}e^{\text{i}\frac{\theta+2\pi k}{m}})^n=|z|^{\frac{n}{m}}e^{\text{i}\frac{n}{m}(\theta+2\pi k)}\).
Analogamente direi che \(\forall z,c\in\mathbb{C}\forall n\in\mathbb{Z}\quad z^{cn}=(z^{c})^n\) perché per \(z=|z|e^{\text{i}\theta}\), si ha che \(z^{cn}=e^{cn\log z}=|z|^{cn}e^{\text{i}cn\arg z }=|z|^{cn}e^{\text{i}cn(\theta+2\pi k)}\) per qualunque \(k\in\mathbb{Z}\) data la polidromia dell'argomento e, d'altra parte, \((z^c)^n=(e^{c\log z})^n=(|z|^c e^{\text{i}c\arg z})^n=|z|^{cn} e^{\text{i}(cn\theta+2cnk\pi)}\).

Invece, per generici $n\in\mathbb{Z},c\in\mathbb{C},z=|z|e^{\text{i}\theta}\in\mathbb{C}$, direi che \((z^n)^c=e^{c\log z^n}=|z^n|^c e^{\text{i}c\arg z^n}=|z|^{cn} e^{\text{i}(cn\theta+2ck\pi)}\) per qualsiasi $k\in\mathbb{Z}$, che non mi sembra coincidere in generale con l'espressione di \((z^c)^n\).

EDIT: vorrei precisare che quanto ho scritto mi sembra valido sia intendendo per $\log$ la funzione polidroma, sia scegliendone un ramo fissato.
Sbagliato?

[axpgn]

@Palliit
Ok, certo ma il senso del mio post era un altro (infatti quella scrittura l'ho chiamata "cosa" ).
Mi sta bene quello che dici (anche se ogni volta faccio fatico a digerirlo visto che poi in algebra le usiamo ...), quello che intendevo è che nella "pratica", per esempio, che ne so, in qualche problema di fisica, a quella scrittura un senso glielo troviamo, all'altra no.

Cordialmente, Alex

P.S.:
@stormy
Mi spiace, ma io non la penso così
E' vero che ho tutti contro (esiste un thread in cui ci sono i miei primi post proprio sull'argomento in questione ... ) ma per me quel "meno" (scritto così) fa parte del numero quindi ha la precedenza su qualsiasi operazione ...
Comunque se si vogliono evitare equivoci basta usare le parentesi sempre, anche nel primo caso.

[biowep]

"Palliit":axpgn: in campo reale, la potenza ad esponente razionale (e, più in generale, reale) è definita con base non negativa. Viceversa si dovrebbe rinunciare a proprietà più fondamentali, come quella commutativa del prodotto (per esempio $2*1/4$ non sarebbe più equivalente a $1/4*2$ se fosse inteso come esponente di un numero negativo) o di equivalenza tra frazioni (ad esempio, $1/3$ non sarebbe più equivalente a $2/6$).

Quindi il riassunto è: "la potenza ad esponente reale non intero è definita per base positiva, in caso di esponente intero è definita per qualsiasi base"?
Se è così ho un tema d'esame il cui svolgimento proposto dalla prof contiene una qualcosa del genere: \(\displaystyle f(x) = \dots (x-1)^{-\frac{2}{3}}\dots\)
Che vale su tutto R escluso 1 (per motivi compresi nei puntini di sospensione)

[Palliit]

@biowep: ad essere rigorosi, è corretto il riassunto che fai. Di fatto, ad esempio, alcuni programmi come Derive ed anche WolframAlpha alla richiesta di graficare in $RR^2$ una funzione come $y=(x-1)^(-2/3)$ si limitano alla regione piana a destra dell'ascissa $1$. Tuttavia proprio il fatto che, come scrive @axpgn, si riesca a dare un senso ad espressioni come $(-8)^(1/3)$ spinge spesso ad ammettere domini più ampi. La cosa migliore (e più prudente...) in un caso del genere credo sia adeguarsi alla scelta abituale fatta dalla docente, o se possibile chiarire direttamente con lei la cosa.

@DavideGenova: non riesco ad essere del tutto convinto di quanto scrivi, mi piacerebbe sentire opinioni di qualcuno che ne sappia più di me.

[biowep]

Secondo me potenze come 1/3 o simili non ci si può limitare a considerarle nel solo intervallo positivo (secondo la mia limitatissima esperienza scolastica).

[biowep]

Salve, ripropongo il thread perché non ho ancora trovato una soluzione e sono leggermente in difficoltà con gli esercizi.
Dunque, stando a wikipedia una potenza nella forma \(\displaystyle a^\frac{x}{y} \) si traduce in \(\displaystyle \sqrt[y]{a^x} \)
http://it.wikipedia.org/wiki/Potenza_(matematica)#Radici_ed_esponenti_frazionari
Quindi vi propongo un esempio verosimile. L'ho provato su Wolfram Alpha ma il risultato è diverso da quello che ci si aspetterebbe.
\(\displaystyle (x+1)^\frac{3}{2} = \sqrt{(x+1)^2(x+1)} = |x+1|\sqrt{x+1} \)
Invece Wolfram alpha mostra i grafici di \(\displaystyle (x+1)\sqrt{x+1} \)
Infatti L'uguaglianza è vera secondo loro: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 28x%2B1%29
Mentre l'altra è vera solo "assuming \(\displaystyle x > 0 \)": http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 28x%2B1%29