Scomposizione polinomiale
Pongo un quesito sulla scomposizione di un polinomio in "Analisi Matematica" non perchè sia impazzito io 
ma semplicemente perchè è parte di un esercizio dato all'Esame di Stato.
In parole povere, dopo aver studiato la funzione $(x^2+2)/(x^3+2)$ (ma non come studio completo,al fine di arrivare al grafico, bensì secondo specifiche richieste) mi viene detto di determinare quanti sonoi i punti in cui la curva $k$ ,che sarebbe la nostra funzione, ha tangente orizzontale. In pratica, quanti sono i punti stazionari.
Determino dunque tutti i punti in cui la derivata della funzione si annulla, giungendo all'equazione di terzo grado $x^3+6x-4=0$ .
Questo polinomio non scende di grado vedendolo in nessun modo, nè con Ruffini... visto che come scomposizione di polinomi non ci arrivo, come risolvo quest'equazione? O almeno, come arrivo al numero dei suoi punti stazionari? Premetto che non abbiamo mai risolto equazioni del genere se non in maniera algebrica, anche perchè la maniera grafica (se c'è) mai l'abbiamo studiata.
Grazie anticipatamente.
ma semplicemente perchè è parte di un esercizio dato all'Esame di Stato.In parole povere, dopo aver studiato la funzione $(x^2+2)/(x^3+2)$ (ma non come studio completo,al fine di arrivare al grafico, bensì secondo specifiche richieste) mi viene detto di determinare quanti sonoi i punti in cui la curva $k$ ,che sarebbe la nostra funzione, ha tangente orizzontale. In pratica, quanti sono i punti stazionari.
Determino dunque tutti i punti in cui la derivata della funzione si annulla, giungendo all'equazione di terzo grado $x^3+6x-4=0$ .
Questo polinomio non scende di grado vedendolo in nessun modo, nè con Ruffini... visto che come scomposizione di polinomi non ci arrivo, come risolvo quest'equazione? O almeno, come arrivo al numero dei suoi punti stazionari? Premetto che non abbiamo mai risolto equazioni del genere se non in maniera algebrica, anche perchè la maniera grafica (se c'è) mai l'abbiamo studiata.
Grazie anticipatamente.
Risposte
La funzione $f(x) = x^3+6x-4$ è strettamente monotona crescente (è somma delle due funzioni strettamente monotone crescenti $x^3$ e $6x-4$).
Inoltre è continua e $f(0) = -4$ e $f(1) = 3$.
Di conseguenza ammette un unico zero $c$, che sta nell'intervallo $(0,1)$.
Inoltre è continua e $f(0) = -4$ e $f(1) = 3$.
Di conseguenza ammette un unico zero $c$, che sta nell'intervallo $(0,1)$.
Scusa Rigel... in primo luogo il risultato del testo dice che sono due gli zeri $c$ e inoltre non ho capito perchè hai calcolato $f(0)$ ed $f(1)$...potresti essere più chiaro?
Mi piace come ha ragionato Rigel. Egli ha chiaramente dimostrato la monotonia CRESCENTE della funzione, e ha trovato due estremi di un certo intervallo in cui la funzione assume valore negativo diverso da 0 nell'estremo sinistro e positivo diverso da 0 nell'estremo destro. Inoltre, la funzione, essendo un polinomio di terzo grado, è CONTINUA in tutto il suo dominio;
questo, Tr0comi, è più che sufficiente per richiamare il teorema di Bolzano, o teorema degli zeri, per dimostrare che in $(0,1)$ ci sarà un certo punto in cui la funzione si annulla, e per la sua monotonia (che tra l'altro potremmo addirittura dimostrare strettamente crescente) non può avere zeri in altri punti del grafico.
Per sicurezza, ho controllato il grafico stesso, quindi, o la tua soluzione è sbagliata, oppure hai compiato male il polinomio, perchè ti assicuro si azzera solo in quell'intervallo
questo, Tr0comi, è più che sufficiente per richiamare il teorema di Bolzano, o teorema degli zeri, per dimostrare che in $(0,1)$ ci sarà un certo punto in cui la funzione si annulla, e per la sua monotonia (che tra l'altro potremmo addirittura dimostrare strettamente crescente) non può avere zeri in altri punti del grafico.
Per sicurezza, ho controllato il grafico stesso, quindi, o la tua soluzione è sbagliata, oppure hai compiato male il polinomio, perchè ti assicuro si azzera solo in quell'intervallo
Il problema è quello numero 1 dell'esame di stato 2002, ordinamento del Liceo Scientifico, sessione ordinaria.
La derivata della funzione che ho scritto dovrebbe essere corretta, così come la funzione stessa è scritta correttamente... il risultato dato dal Ministero pare sia proprio due zeri...fermo restando che agli esami di stato gli errori sono più che all'ordine del giorno, mi confermate il risultato di un solo punto stazionario?
La derivata della funzione che ho scritto dovrebbe essere corretta, così come la funzione stessa è scritta correttamente... il risultato dato dal Ministero pare sia proprio due zeri...fermo restando che agli esami di stato gli errori sono più che all'ordine del giorno, mi confermate il risultato di un solo punto stazionario?
Chiedo scusa a tutti, la derivata è $-x(x^3+6x-4)$ , nell'eguagliare a zero ho omesso stupidamente di dire che uno zero ce l'abbiamo "già" , ed è $c=0$. Scusate ancora la dimenticanza.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo