Scomposizione intervallo di integrazione

[AndreaTorre1]

Salve!
Ho il seguente integrale doppio da svolgere e trovo problemi nello scomporre l'intervallo di integrazione:
$intint_X (xy)/(x^2+y^2+1)dxdy$, essendo $X={(x,y);x>=0, x^2+y^2<=4, x^2+(y-1)^2>=1}$

$ x^2+y^2=4$ è una circonferenza di centro $C=(0,0)$ e $r=2$

$x^2+(y-1)^2=1$ è una circonferenza di centro $C'=(0,1)$ e $r=1$
Disegnando il grafico dovrebbe venire una cosa così:

Definisco $X_1$:
si vede subito che la x varia tra 0 e 1.
Esprimo le disequazioni delle circonferenze in funzione della y: circonferenza $C$: $x^2+y^2<=4<=>y<=sqrt(4-x^2);$ circonferenza $C'$: $x^2+(y-1)^2>=1<=>y^2-2y>=-x^2=>y>=-x^2,y>=-x^2+2$, ovvero, $yx^2+2$
$X_1={(x,y):0<=x<=1,y<=x^2uuy>=x^2+2,y<=sqrt(4-x^2)}$.
Onestamente non sono convinto del procedimento che ho seguito fin qui... Cosa ne pensate?

[seb1]

"AndreaTorre":Esprimo le disequazioni delle circonferenze in funzione della y: circonferenza $C$: $x^2+y^2<=4<=>y<=sqrt(4-x^2);$ circonferenza $C'$: $x^2+(y-1)^2>=1<=>y^2-2y>=-x^2=>y>=-x^2,y>=-x^2+2$, ovvero, $yx^2+2$

Ma ti pare di aver espresso delle circonferenze? (La seconda in particolare)

[AndreaTorre1]

Eh si, sapevo di aver fatto male...ma cosa ho sbagliato? Immagino che avrei dovuto prima esprimere in coordinate polari.

[seb1]

Sorvolando sul fatto che le disequazioni possono rappresentare cerchi e non circonferenze, l'equazione \(y=\sqrt{4-x^2}\) rappresenta una semicirconferenza e \(y=x^2\), \(y=x^2+2\) delle parabole. Dovresti ben sapere che la doppia implicazione \(y^2=4-x^2\iff y=\sqrt{4-x^2}\) è falsa; infatti \(y^2=4-x^2\) è soddisfatta pure da \(y=-\sqrt{4-x^2}\). Poi non ho capito perché, se la prima disequazione la risolvi isolando la \(y\) ed estraendo la radice, non fai lo stesso con la seconda. Si ha infatti \(x^2+(y-1)^2=1\implies(y-1)^2=1-x^2\implies y-1=\pm\sqrt{1-x^2}\implies y=1\pm\sqrt{1-x^2}\) dove — ricordo — s'è tenuto conto del doppio segno.
Il passaggio in coordinate polari o meno non ha nulla a che fare con gli errori che hai commesso. Puoi benissimo scegliere di risolvere l'esercizio in coordinate cartesiane. Considerando le osservazioni che ho riportato sapresti ora come svolgere?

[AndreaTorre1]

Certo ho fatto un erroraccio..adesso mi verrebbe da rispondere che essendo $y^2<=4-x^2<=>-sqrt(4-x^2)<=y<=sqrt(4-x^2)$
Invece per la seconda $x^2+(y-1)^2>=1<=>y<=1-sqrt(1-x^2)uuy>=1+sqrt(1-x^2)$

[seb1]

Simbolo a parte, certamente; prosegui pure

[AndreaTorre1]

Adesso non so come procedere..non so come fare ad esprimere le disequazioni ,$-sqrt(4-x^2)<=y<=sqrt(4-x^2)$ e $y<=1-sqrt(1-x^2)uuy>=1+sqrt(1-x^2)$, con un unico intervallo di integrazione della y....

[seb1]

Non sai come fare perché non è possibile. Quell'insieme non è normale rispetto alle ascisse. Tuttavia puoi semplicemente spezzare l'insieme d'integrazione in tre parti. Altrimenti (e più velocemente) rendi \(y\) la variabile indipendente ed è sufficiente spezzare in unicamente due parti il dominio.

[AndreaTorre1]

"seb":Altrimenti (e più velocemente) rendi \(y\) la variabile indipendente ed è sufficiente spezzare in unicamente due parti il dominio.

Ovvero? Cosa intendi esattamente?

[seb1]

Relativamente a \(y\in[-2,0]\) e \(y\in[0,2]\) il dominio è normale rispetto alle ordinate.
Ad ogni modo non m'è ben chiaro quali siano i tuoi dubbi, cosa ti blocchi, nemmeno se l'ostacolo è pratico o teorico. Di conseguenza non posso indirizzarti imediatamente. Prova a indicare quale strada intraprenderesti e ad esser chiaro su quali sono le difficoltà, così risolviamo più in fretta.

[AndreaTorre1]

No semplicemente non riuscivo a vedere che si poteva benissimo dividere ulteriormente il dominio...quindi se non ho capito male divido il dominio lungo l'asse delle ordinate ed avrò una $X'_1={(x,y):0 Quindi così arrivo a dividerlo in 3...non riesco a vedere la strada più veloce alla quale ti riferivi tu

[seb1]

Non riesco a capire se stai andando a tentoni o se non presti sufficiente attenzione: quanto del tuo insieme hai rappresentato con quello che hai scritto? Cerca di rappresentarlo interamente scomponendolo in maniera tale da poter costringere, in ciascuna delle parti, una delle due variabili fra due funzioni.