Scomposizione integrali fratti

[sam17091]

Ciao a tutti, so che ho già fatto una domada simile e che molto probabilmente sarà una mezza cavolata, ma proprio non riescio a capire come dividere un polinomio di secondo grado con delta minore di zero.
Questo è l'esercizio:
$ 2int 1/(x^2+3x+4) dx $
Non è un quadrato perfetto in quanto $ (x+2)^2 $ da come risultato $ x^2+4+4x $.
Sinceramente non saprei come fare.

Grazie a tutti

[Lo_zio_Tom]

se il $Delta$ è minore di zero lo riconduci ad un integrale la cui primitiva è un'arcotangente, come sempre

[donald_zeka]

Aggiungi e sottrai $9/4$ al denominatore

[sam17091]

Si ma come faccio in questo caso a far saltare fuori la forma:
$ int 1/[(b+x)^2+a^2] dx $ che sarà uguale a: $ 1/aarctan((b+x)/a) $

[Lo_zio_Tom]

$ 2int 1/(x^2+3x+4) dx =8int 1/(4x^2+12x+16)dx=8int 1/((2x+3)^2+7)dx$


$ =8/7int 1/(1+((2x+3)/sqrt(7))^2)dx=4/sqrt(7)int1/(1+((2x+3)/sqrt(7))^2)2/sqrt(7)dx=4/sqrt(7)arctan((2x+3)/sqrt(7))+C$

[sam17091]

Solo un chiarimento, come fa l'otto a diventare quattro? (intendo la frazione davanti all'integrale)

[Alegomind]

Ha visto 8 come 4*2 e ha portato il 2 all'interno dell'integrale per ottenere la derivata della funzione al denominatore

[sam17091]

Correggetemi se dico una cavolata, ma se io utilizzo questa "formula"
$ int 1/[(b+x)^2+a^2] dx $ che sarà uguale a: $ 1/aarctan((b+x)/a) $
potrei aver risolto il tutto fermandomi con i calcoli a
$ 8int1/[(2x+3)^2+7] dx $ (naturalmente moltiplicando per $ 1/2 $ all'interno dell'integrale per la derivata del denominatore...)