Scomposizione in fratti semplici - poli multipli
Buonasera a tutti, come da oggetto vi chiedo una mano per capire come funziona tecnicamente (anche se ho letto e riletto la teoria non capisco come trasformarla in pratica, ahimè) la scomposizione in fratti semplici di una funzione razionale fratta nel caso in cui si abbiano poli con radici multiple.
Più nello specifico, data questa funzione:
$1/(s(s^2+s+1))$
Ottengo questa scomposizione:
$R_11/(s+1)+R_12/(s+1)^2+R_2/s$
Facendo i calcoli ottengo $R_2=1$ ed $R_12=1$, ma $R_11$? Dovrei derivare $R_12$? Qualcuno può spiegarmi (passo per passo, sono veramente scarso in queste cose) come?
Grazie a chiunque risponderà, per l'ennesima volta
Più nello specifico, data questa funzione:
$1/(s(s^2+s+1))$
Ottengo questa scomposizione:
$R_11/(s+1)+R_12/(s+1)^2+R_2/s$
Facendo i calcoli ottengo $R_2=1$ ed $R_12=1$, ma $R_11$? Dovrei derivare $R_12$? Qualcuno può spiegarmi (passo per passo, sono veramente scarso in queste cose) come?
Grazie a chiunque risponderà, per l'ennesima volta
Risposte
Come fai a trovarti con quella scomposizione!? O.o
$x(x^2+x+1) != x(x+1)(x+1)^2$
$x(x^2+x+1) != x(x+1)(x+1)^2$
Guarda, non so spiegarti precisamente come perché il mio studio è tutto finalizzato a superare la maledetta prova scritta, però da quanto ho capito vengono presi s+1 ed (s+1)^2 perchè in questa maniera si tiene conto del fatto che la soluzione di (s+1)^2 è una sola con molteplicità 2.
Se vuoi un mio parere studiare matematica in questo modo non serve a nulla. Lo scritto non lo passerai mai, perchè non ha senso che tu faccia un esercizio senza sapere cosa tu stia facendo. E poi che risposta è: "non so spiegarti precisamente come, perchè il mio studio è finalizzato a superare la maledetta prova scritta!"
Non ti offendere...ma secondo me non è modo di affrontare le cose.
Non ti offendere...ma secondo me non è modo di affrontare le cose.
La scomposizione proposta da rubikk è errata per i motivi che ha esposto Lorin.
Il consiglio è quello di leggersi la teoria prima.
Il consiglio è quello di leggersi la teoria prima.
A questo punto non so che dirvi. Quello che ho scritto è quello che ha scritto il professore (sia per il caso specifico che per altri).
Secondo i suoi appunti l'espansione possibile è la seguente:
$F(s)=\sum_{i=1}^l \sum_{j=1}^(\mu_i) (R_(ij))/(x-\lambda_i)^j$
Con $R_(i\mu_j)= F(x)(x-\lambda_i)^\(mu_i)$ e $R_(i\mu_(j-s))= (d^s(F(x)(x-\lambda_i)^\(mu_i)))/(ds)$
Il mio problema è nel calcolo del secondo tipo di residui. Purtroppo non credo di poter essere più chiaro di così e se mi dite che c'è qualcosa di sbagliato allora cercherò di parlarne con il professore.
Grazie comunque per la disponibilità
Secondo i suoi appunti l'espansione possibile è la seguente:
$F(s)=\sum_{i=1}^l \sum_{j=1}^(\mu_i) (R_(ij))/(x-\lambda_i)^j$
Con $R_(i\mu_j)= F(x)(x-\lambda_i)^\(mu_i)$ e $R_(i\mu_(j-s))= (d^s(F(x)(x-\lambda_i)^\(mu_i)))/(ds)$
Il mio problema è nel calcolo del secondo tipo di residui. Purtroppo non credo di poter essere più chiaro di così e se mi dite che c'è qualcosa di sbagliato allora cercherò di parlarne con il professore.
Grazie comunque per la disponibilità
Rubikk, quella espansione è giusta, ma gli addendi con i denominatori di grado [tex]$\geq 2$[/tex] compaiono solo nel caso in cui ci siano poli multipli... Cosa che, nel caso in esame, non si verifica affatto: infatti, la tua funzione razionale ha unicamente tre poli semplici.
Sostanzialmente devi seguire la stessa regola che usavi quando dovevi integrare le funzioni fratte in Analisi I
Oddio, scusate, mi sono reso conto solo ora che la funzione che ho scritto all'inizio è sbagliata.
In realtà è $1/(s(s^2+2s+1))$ !
Scusate ancora, non me ne ero davvero reso conto, sono mortificato
In realtà è $1/(s(s^2+2s+1))$ !
Scusate ancora, non me ne ero davvero reso conto, sono mortificato
Vabbé, allora è un'altra storia... La decomposizione in fratti semplici si scrive nella forma:
(*) [tex]$\frac{R_1}{s}+\frac{R_2}{s+1}+\frac{R_3}{(s+1)^2}$[/tex]
in cui:
(1) [tex]$R_1=\text{Res}(f(s);0)$[/tex]
(2) [tex]$R_2=\text{Res} (f(s);-1)$[/tex]
(3) [tex]$R_3=\text{Res} ((s+1)f(s);-1)$[/tex]
Infatti, se [tex]$f(s)$[/tex] ha da essere uguale alla funzione razionale in (*), la parte [tex]$\tfrac{R_1}{s}$[/tex] deve coincidere con la parte singolare dello sviluppo in serie di Laurent in [tex]$0$[/tex] di [tex]$f$[/tex] ed, analogamente, la parte [tex]$\tfrac{R_2}{s+1}+\tfrac{R_3}{(s+1)^2}$[/tex] deve coincidere con la parte singolare di [tex]$f$[/tex] in [tex]$-1$[/tex]; conseguentemente, per l'unicità dello sviluppo di Laurent, le due uguaglianze (1) e (2) sono valide.
Per ricavare la (3) si procede come segue: vogliamo che:
[tex]$f(s)=\frac{R_1}{s}+\frac{R_2}{s+1}+\frac{R_3}{(s+1)^2}$[/tex]
intorno a [tex]$-1$[/tex], ergo possiamo moltiplicare m.a.m. la precedente per [tex]$s+1$[/tex] ottenendo:
[tex]$(s+1)f(s)=\frac{R_1(s+1)}{s}+R_2+\frac{R_3}{s+1}$[/tex];
guardando gli addendi a secondo membro ci si accorge che la parte [tex]$\tfrac{R_1(s+1)}{s}+R_2$[/tex] rappresenta la parte regolare dello sviluppo in serie di Laurent di [tex]$(s+1)f(s)$[/tex] in [tex]$-1$[/tex], mentre l'addendo [tex]$\tfrac{R_3}{s+1}$[/tex] rappresenta la parte singolare in [tex]$-1$[/tex]: conseguentemente, per l'unicità dello sviluppo in serie di Laurent, vale la (3).
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