Scomposizione in fratti semplici con radici complesse
Ragazzi ho questo problema, praticamente debbo scomporre questa funzione in fratti semplici, ma il denominatore è fatto da una funzione che non ha soluzione nel campo reale, per trovare la scomposizione faccio come segue:
Funzione: ---> $ 100/((s+1)*(s^2+4s+13)) $
Procedimento:
$ 100/((s+1)*(s^2+4s+13))=A/(s+1)+(Bs+C)/(s^2+4s+13) $
Determino A=10
E vado a determinare Bs+C , dove mi blocco, faccio il minimo comune multiplo ed eguaglio a 100 , così:
$ 100=10(s^2+4s+13)+(Bs+c)*(s+1) $
Come vado a vanti? Come determino B e C???
Grazie E Buon ANno!
Funzione: ---> $ 100/((s+1)*(s^2+4s+13)) $
Procedimento:
$ 100/((s+1)*(s^2+4s+13))=A/(s+1)+(Bs+C)/(s^2+4s+13) $
Determino A=10
E vado a determinare Bs+C , dove mi blocco, faccio il minimo comune multiplo ed eguaglio a 100 , così:
$ 100=10(s^2+4s+13)+(Bs+c)*(s+1) $
Come vado a vanti? Come determino B e C???
Grazie E Buon ANno!
Risposte
Come hai fatto a determinare $A=10$?
Devi fare subito il denominatore comune e sommare le frazioni del secondo membro; poi eguagli i numeratori e trovi le condizioni cui devono soddisfare $A, B, C$: poi risolvi il sistema.
Hai capito?
P.S. Dimenticavo: benvenuto tra noi.
Devi fare subito il denominatore comune e sommare le frazioni del secondo membro; poi eguagli i numeratori e trovi le condizioni cui devono soddisfare $A, B, C$: poi risolvi il sistema.
Hai capito?
P.S. Dimenticavo: benvenuto tra noi.
mmm non è che abbia capito proprio tutto, è chiedere troppo di rispiegare il tutto magari usando proprio il mio esempio? grz
Tranquillo.
Dobbiamo scrivere $100/((s+1)*(s^2+4s+13))=A/(s+1)+(Bs+C)/(s^2+4s+13)$ cioè come somma di due frazioni più semplici.
Facendo il mcm al secondo membro otteniamo
$(A(s^2+4s+13)+(Bs+C)(s+1))/((s+1)(s^2+4s+13))=(As^2+4As+13A+Bs^2+Cs+Bs+C)/((s+1)(s^2+4s+13))$
Adesso fai i conti al numeratore: ti dovrebbe rimanere (controlla attentamente i miei conti) $(A+B)s^2+(4A+B+c)s+13A+C$.
Ora devi eguagliare questo al tuo "vecchio" numeratore, quello della frazione di partenza, che era 100.
$(A+B)s^2+(4A+B+c)s+13A+C=100$.
I coefficienti di $s^2$ e $s$ quindi devono essere nulli e allo stesso tempo devi avere $13A+C=100$.
Tre equazioni, tre incognite: se metti a sistema questa tre condizioni ottieni i tuoi valori.
Piccola nota: il sistema DEVE essere risolubile (c'è un teorema che lo garantisce). Se non ti viene risolubile, prova a ricontrollare i conti.
E mi raccomando, se hai bisogno siamo qui. Spero sia più chiaro.
Buon anno anche a te.
Dobbiamo scrivere $100/((s+1)*(s^2+4s+13))=A/(s+1)+(Bs+C)/(s^2+4s+13)$ cioè come somma di due frazioni più semplici.
Facendo il mcm al secondo membro otteniamo
$(A(s^2+4s+13)+(Bs+C)(s+1))/((s+1)(s^2+4s+13))=(As^2+4As+13A+Bs^2+Cs+Bs+C)/((s+1)(s^2+4s+13))$
Adesso fai i conti al numeratore: ti dovrebbe rimanere (controlla attentamente i miei conti) $(A+B)s^2+(4A+B+c)s+13A+C$.
Ora devi eguagliare questo al tuo "vecchio" numeratore, quello della frazione di partenza, che era 100.
$(A+B)s^2+(4A+B+c)s+13A+C=100$.
I coefficienti di $s^2$ e $s$ quindi devono essere nulli e allo stesso tempo devi avere $13A+C=100$.
Tre equazioni, tre incognite: se metti a sistema questa tre condizioni ottieni i tuoi valori.
Piccola nota: il sistema DEVE essere risolubile (c'è un teorema che lo garantisce). Se non ti viene risolubile, prova a ricontrollare i conti.
E mi raccomando, se hai bisogno siamo qui. Spero sia più chiaro.
Buon anno anche a te.
Paolo90, ora sei stato chiaro come la luce del sole, un errore sciocco di calcolo l'ultima volta mi è costato l'esame di sistemi ad Ingegneria informatica, ora tutto mi è chiaro! Finalmente!
Ti ringrazio dell'aiuto e della chiarezza!
Ancora buon anno!
Ti ringrazio dell'aiuto e della chiarezza!
Ancora buon anno!
[OT]
Tutti a studiare la trasformata di Laplace in questi ultimi giorni... E nessuno usa i residui per determinare i coefficienti dei fratti semplici.
Mah...
[/OT]
Tutti a studiare la trasformata di Laplace in questi ultimi giorni... E nessuno usa i residui per determinare i coefficienti dei fratti semplici.
Mah...
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Ahahaha è vero, ci sarebbe anche il metodo dei residui, ma trovo piu' facile questo! Almeno a detta del mio professore!!!
Ragazzi...scusate se riesumo questo vecchio post, ma vorrei avere un chiarimento riguardo la decomposizione in fratti semplici...spero possiate darmi una mano! 
Come faccio a capire il metodo corretto da adottare? Ad esempio...il procedimento che avete adottato prima è sempre possibile? O vale solo nel caso in cui ottengo radici complesse? Ve lo chiedo perchè personalmente trovo questo metodo un po' più semplice rispetto a quello dei residui...però in alcuni esercizi non lo riesco ad applicare...e quindi mi trovo costretto a sfruttare appunto i residui! Ad esempio, nel caso della funzione 1/(z^2(1-z)) perchè non è possibile procedere come prima, cioè (A/z^2)+((Bz+C)/(1-z))?
Come faccio a capire il metodo corretto da adottare? Ad esempio...il procedimento che avete adottato prima è sempre possibile? O vale solo nel caso in cui ottengo radici complesse? Ve lo chiedo perchè personalmente trovo questo metodo un po' più semplice rispetto a quello dei residui...però in alcuni esercizi non lo riesco ad applicare...e quindi mi trovo costretto a sfruttare appunto i residui! Ad esempio, nel caso della funzione 1/(z^2(1-z)) perchè non è possibile procedere come prima, cioè (A/z^2)+((Bz+C)/(1-z))?
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