Scomposizione in fratti semplici!

[Serxe]

Non riesco a capire come funziona! C'è qualche anima pia che me la può spiegare? Magari con un esempio! Grazie mille

[gugo82]

Il libro che dice?
Cos'è esattamente che non riesci a capire?
Posta qualche esempio.

[Serxe]

Il libro mi enuncia il teorema e poi fa qualche esempio, ma senza spiegarlo bene!
Ad esempio fa $\int x^5/(x^4-1) dx$ e sinceramente non riesco a capire come arriva a risolverlo..

[gugo82]

Cosa non capisci di preciso?
Qualche passaggio?

L'idea fondamentale della decomposizione in fratti è questa.
Ogni funzione razionale \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) (con \(P,\ Q\) polinomi) si può scrivere come somma di un polinomio \(p(x)\) e di un numero finito di funzioni razionali del tipo \(\frac{p_k (x)}{q_k (x)}\) ove:

[*:23hdm2vl] \(q_k\) ha grado al più due e, se ha grado due, non è rappresentabile come prodotto di due polinomi reali distinti di grado \(1\) (cioè ha il \(\Delta \leq 0\));

[/*:m:23hdm2vl]
[*:23hdm2vl] il grado di \(p_k\) è \(<\) del grado di \(q_k\), quindi \(p_k\) o ha grado \(1\) (se \(q_k\) ha grado \(2\)) oppure è costante (se \(q_k\) ha grado \(1\))

[/*:m:23hdm2vl]
[*:23hdm2vl] \(p\) è il quoziente della divisione di \(P\) per \(Q\), se il grado di \(P\) è \(\geq\) del grado di \(Q\), oppure è il polinomio nullo.[/*:m:23hdm2vl][/list:u:23hdm2vl]
Ora, assegnata una funzione razionale \(P(x)/Q(x)\), il problema è determinare chi sono i polinomi giusti \(p,p1,\ldots, p_n,q_1,\ldots ,q_n\) che ti riescono a far scrivere l'uguaglianza:
\[
\frac{P(x)}{Q(x)} = p(x) +\frac{p_1(x)}{q_1 (x)}+\ldots +\frac{p_n(x)}{q_n(x)}\; .
\]
Si vede che, affinche risulti vera l'uguaglianza, i polinomi \(q_1,\ldots ,q_n\) devono essere tali che il loro m.c.m. sia \(Q(x)\); ergo i \(q_k\) sono da scegliersi tra i polinomi di primo e secondo grado in cui si fattorizza \(Q\).

Nell'esempio, abbiamo \(Q(x)=x^4-1\) e si vede senza troppo sforzo che:
\[
Q(x)=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)
\]
con il polinomio di secondo grado col \(\Delta <0\): pertanto possiamo porre:
\[
q_1(x)=x-1,\ q_2(x)=x+2,\ q_3(x)=x^2+1\; .
\]
D'altra parte, per l'ultimo punto dell'elenco precedente, dato che il grado di \(P(x)=x^5\) è \(\geq \) di quello di \(Q(x)=x^4-1\), il polinomio \(p\) è il quoziente della divisione di \(P\) per \(Q\); facendo la divisione tra polinomi si trova:
\[
p(x) = x\; .
\]
Inoltre, visto che i polinomi \(q_1,q_2\) hanno grado uno e che \(q_3\) ha grado due, sappiamo dal secondo punto che:
\[
p_1(x)=A=\text{cost.},\ p_2(x)=B=\text{cost.},\ p_3(x)=Cx+D
\]
con \(A,B,C,D\) costanti reali da determinare in qualche modo (che ora vedremo).
Quindi abbiamo una decomposizione del tipo:
\[
\tag{1} \frac{x^5}{x^4-1} =x+\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1}
\]
e, come detto, ci rimane da determinare i coefficienti \(A,B,C,D\).
Per determinare \(A,B,C,D\) facciamo un m.c.m. al secondo membro ed ordiniamo ilnumeratore secondo le potenza decrescenti della \(x\):
\[
\begin{split}
x+\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1} &= \frac{x(x^4-1)+A(x+1)(x^2+1)+B(x-1)(x^2+1)+(Cx+D)(x^2-1)}{x^4-1}\\
&= \frac{x^5+(A+B+C)x^3+(A-B+D)x^2+(A+B-C-1)x+(A-B-D)}{x^4-1}
\end{split}
\]
conseguentemente la (1) si riscrive:
\[
\frac{x^5}{x^4-1} = \frac{x^5+(A+B+C)x^3+(A-B+D)x^2+(A+B-C-1)x+(A-B-D)}{x^4-1}
\]
e, liberando dal denominatore comune e semplificando il termine di quinto grado, otteniamo l'uguaglianza tra polinomi:
\[
\tag{2} 0=(A+B+C)x^3+(A-B+D)x^2+(A+B-C-1)x+(A-B-D)\; .
\]
Come noto, un polinomio è nullo se e solo se ha tutti i coefficienti nulli, quindi la (2) può verificarsi se e solo se i coefficienti \(A,B,C,D\) risolvono il sistema lineare:
\[
\tag{3} \begin{cases}
A+B+C=0\\
A-B+D=0\\
A+B-C=1\\
A-B-D=0
\end{cases}
\]
che si ottiene uguagliando a zero tutti i coefficienti del secondo membro di (2).
Si vede che (3) ha unica soluzione:
\[
A=1/4,\ B=1/4,\ C=-1/2, D=0
\]
quindi la decomposizione in fratti semplici della funzione razionale assegnata si scrive:
\[
\frac{x^5}{x^4-1} =x+\frac{1}{4(x-1)}+\frac{1}{4(x+1)}-\frac{x}{2(x^2+1)}
\]
(ammesso e non concesso che abbia fatto decentemente i conti... Controlla! )

[Serxe]

Ti ringrazio! Ho capito decisamente meglio..
Sul libro usa un procedimento leggermente diverso.. va a fare $(P(x))/(Q(x))$ e integra il risultato (non il resto, integra solo la x), dopo di che va a scomporre il resto in fratti semplici... è la stessa cosa? Alla fine tu la x la consideri alla fine (quando vai a integrare il risultato della scomposizione) mentre lui la considera all'inizio e poi ci aggiunge l'integrale del resto! O sto ragionamento è sbagliato?
Ora provo a fare qualche integrale in questo modo (cominciando da questo che mi hai risolto tu ) e vedo se ci riesco senza troppi problemi...

EDIT: Ho fatto qualche esercizio e non ho avuto troppe difficoltà! Quello dell'esempio mi viene come il tuo e gli altri credo siano corretti (non ho le soluzioni purtroppo).
Ora devo solo prendere un po' di dimestichezza con gli integrali un po' più complessi e sto a posto! Non vorrei sembrare ripetitivo.. ma grazie ancora

Non è vero ç_ç
Ho avuto un problema con un esercizio!

$1/(x^2(1+x))$

Secondo la risoluzione dovrei scomporlo così:

$ A/x + B/x^2 + C/ (1+x) $

Ma perchè? Io l'avrei scomposto in :


$A/x^2 + B/ (1+x) $

[gugo82]

"Serxe":Ho avuto un problema con un esercizio!

$1/(x^2(1+x))$

Secondo la risoluzione dovrei scomporlo così:

$ A/x + B/x^2 + C/ (1+x) $

Ma perchè? Io l'avrei scomposto in :


$A/x^2 + B/ (1+x) $

Avresti sbagliato.

Come detto, quando a denominatore hai un polinomio di secondo grado con \(\Delta \leq 0\), il numeratore va cercato di primo grado.
Nel tuo caso il fratto semplice corrispondente al denominatore \(x^2\) è:
\[
\frac{Ax+B}{x^2}
\]
o, ciò che è lo stesso:
\[
\frac{A}{x} +\frac{B}{x^2}
\]
che è quello proposto dal tuo testo...

Fa' più attenzione.

[Serxe]

Si infatti.. l'ho rivisto bene dopo pranzo e ho notato che mi era sfuggita questa cosa!
Grazie!