Scomposizione in fratti semplici

[anto_zoolander]

Salve

Qualcuno avrebbe modo di dirmi dove trovare la dimostrazione della scomposizione in fratti semplici? In particolare dove il denominatore è una quantità con $Delta<0$

e poi, non riesco ad integrare:

$intx^2/(1+x^4)dx$

Ho provato a passare dell'integrazione per parti, con l'arcotangente o con il logaritmo, ma niente. Più che altro vorrei un 'consiglio'

[Lo_zio_Tom]

Occorrre un po di fantasia...

$ x^2/(1+x^4)=1/2 (1-1/x^2)/(x^2+1/x^2)+1/2 (1+1/x^2)/(x^2+1/x^2) $

Poni

$ z=x+1/x $

$ t=x-1/x $

Ed è bello e che morto e sepolto. Infatti ottieni

$ dz=(1-1/x^2) dx $

$ x^2+1/x^2=z^2-2$

...e similmente per $ t $, per cui dopo la sostituzione devi integrare

$1/(z^2-2) $ e $1/(t^2+2) $ che spero tu sappia come svolgere



ciao

[anto_zoolander]

"tommik":Occorrre un po di fantasia...

$ x^2/(1+x^4)=1/2 (1-1/x^2)/(x^2+1/x^2)+1/2 (1+1/x^2)/(x^2+1/x^2) $

Poni

$ z=x+1/x $

$ t=x-1/x $

Ed è bello e che morto e sepolto. Infatti ottieni

$ dz=(1-1/x^2) dx $

$ x^2+1/x^2=z^2-2$

...e similmente per $ t $, per cui dopo la sostituzione devi integrare

$1/(z^2-2) $ e $1/(t^2+2) $ che spero tu sappia come svolgere



ciao

Grazie mille.
Io l'ho scomposto in un altro modo, alla fine sono arrivato allo stesso risultato, però mi sono reso conto che ho reso più grande di ciò che sembrasse un problema irrisorio perché il problema era il seguente:

calcolare $lim_(x->0)(int_{0}^{x}t^2/(1+t^4)dt)/x^3$


$lim_(x->0)(int_{0}^{x}t^2/(1+t^4)dt)/x^3= [0/0]$ quindi posso applicare de l'hôpital....

$lim_(x->0)(x^2/(1+x^4))/(3x^2) = lim_(x->0)1/(3(1+x^4))=1/3$