Scomposizione fratti semplici
ciao a tutti !
mi sapreste dare la scomposizione in fratti semplici della seguente funzione $1/((x^2 + 4)(x^2 +2x + 2))$
mi sapreste dare la scomposizione in fratti semplici della seguente funzione $1/((x^2 + 4)(x^2 +2x + 2))$
Risposte
I polinomi alla base non sono scomponibili in $RR$ in quanto hanno delta negativo.
il metodo lo conosci? sai che devi trovare 4 coefficienti, A,B,C,D tali che risulti vera questa identità?
$(Ax+B)/(x^2+4)+(Cx+D)/(x^2+2x+2) bar= 1/((x^2+4)(x^2+2x+2))$
si tratta solo di fare un po' di calcoli, con il mcd, e uguagliare termine a termine i due numeratori. nel caso specifico, essendo 1 il numeratore noto,
devi uguagliare a zero tutte le somme dei coefficienti di pari-grado (x di 3°, 2°, 1° grado) ed uguagliare ad 1 la somma dei termini noti.
spero sia chiaro. prova e facci sapere. ciao.
$(Ax+B)/(x^2+4)+(Cx+D)/(x^2+2x+2) bar= 1/((x^2+4)(x^2+2x+2))$
si tratta solo di fare un po' di calcoli, con il mcd, e uguagliare termine a termine i due numeratori. nel caso specifico, essendo 1 il numeratore noto,
devi uguagliare a zero tutte le somme dei coefficienti di pari-grado (x di 3°, 2°, 1° grado) ed uguagliare ad 1 la somma dei termini noti.
spero sia chiaro. prova e facci sapere. ciao.
ah ma si parlava della tecnica che si usa per svolgere gli integrali di funzioni fratte?!
Pardon allora
Pardon allora
no, la tua indicazione è esatta ... io ho saltato questa precisazione, però avendo scritto le formule ho impiegato più tempo a rispondere...
bisogna tener conto di entrambe le cose...
bisogna tener conto di entrambe le cose...
capisco...ti ringrazio.
di nulla.
ok dopo i tuoi calcoli so continuare ! ma il problema e arrivare al tuo punto !
perche hai messo Ax +b ?
il mcd con il sistema per trovare coefficenti lo so fare, nn ho capito la regola x piazzare i coefficenti e scomporre
perche hai messo Ax +b ?
il mcd con il sistema per trovare coefficenti lo so fare, nn ho capito la regola x piazzare i coefficenti e scomporre
si mette solo A se il denominatore è di primo grado, mentre si mette un binomio di primo grado se il denominatore è di secondo grado, e si lascia senza scomporre perché il discriminante è negativo.
siccome sto per uscire, intanto ti scrivo i miei risultati (solo per confronto, non so se per caso ho sbagliato qualche conto...): A=3/2, B=3/2, C=-3/2, D=-1/2.
prova ad andare avanti, casomai ci risentiamo più tardi. ciao.
siccome sto per uscire, intanto ti scrivo i miei risultati (solo per confronto, non so se per caso ho sbagliato qualche conto...): A=3/2, B=3/2, C=-3/2, D=-1/2.
prova ad andare avanti, casomai ci risentiamo più tardi. ciao.
Tipo questa come si fa ?
$1/(x^4 + 26x^2 +25)$
io lo scomposta in $1/((x^2 + 1 )(x^2 + 25))$ ..... e poi ?
$1/(x^4 + 26x^2 +25)$
io lo scomposta in $1/((x^2 + 1 )(x^2 + 25))$ ..... e poi ?
"Alberto87":
Tipo questa come si fa ?
$1/(x^4 + 26x^2 +25)$
io l'ho scomposta in $1/((x^2 + 1 )(x^2 + 25))$ ..... e poi ?
Stesso modo: determini $A,B,C,D$ in modo che:
$1/((x^2+1)(x^2+25))=(Ax+B)/(x^2+1)+(Cx+D)/(x^2+25)$.
Tieni presente che l'idea generale è questa: al denominatore di un fratto semplice c'è sempre un polinomio irriducibile, ossia o un polinomio di grado $1$ oppure uno di grado $2$ col $Delta<0$, mentre al numeratore si cerca di "far venire" sempre qualcosa di "molto simile" alla derivata del denominatore.
Quindi se il fratto semplice ha un denominatore di primo grado $x+\alpha$ si cerca solo una costante $A$, in quanto il polinomio di grado zero $A$ è "molto simile" alla derivata di $x+\alpha$ (che è $1$); se, invece, il fratto semplice ha denominatore di secondo grado $x^2+\alphax+\beta$ (col $Delta<0$) si cercano due costanti $A,B$ in quanto il polinomio di grado $1$ $Ax+B$ è "molto simile" alla derivata di $x^2+\alphax+\beta$ (che è $2x+\alpha$).
Ad esempio vuoi scomporre in fratti semplici $1/(x^3+1)$. Si vede che $x^3+1=(x-1)*(x^2+x+1)$, con $x^2+x+1$ avente $Delta<0$; ne viene che devi cercare una scomposizione del tipo:
$1/((x-1)*(x^2+x+1))=A/(x-1)+(Bx+C)/(x^2+x+1)$
con $A,B,C \in RR$.
ho capito perfettamente il tuo concetto... ! pero nella risoluzione dell' esercizio la mia prof di metodi matematici ha usato questa espressione
$ 1/((x^2+1)(x^2+25)) = A/(x^2 + 1 ) + B/(x^2 + 25 ) $
ora provo e vedo se viene = ...
$ 1/((x^2+1)(x^2+25)) = A/(x^2 + 1 ) + B/(x^2 + 25 ) $
ora provo e vedo se viene = ...
ti prego risp che domani ho un esame 
(
(
Scusa ma $x$ è reale o complesso?
Se $x$ è reale, allora la tua prof. o ha fatto altre considerazioni prima di scomporre oppure si è distratta.
Se $x$ è una variabile complessa allora gli unici fratti semplici sono del tipo $A/(x+a)$ (infatti i polinomi irriducibili in $CC$ sono tutti e soli quell di primo grado).
Se $x$ è reale, allora la tua prof. o ha fatto altre considerazioni prima di scomporre oppure si è distratta.
Se $x$ è una variabile complessa allora gli unici fratti semplici sono del tipo $A/(x+a)$ (infatti i polinomi irriducibili in $CC$ sono tutti e soli quell di primo grado).
effettivamente, nell'esercizio postato, in entrambi i fattori manca il termine di primo grado (con una eventuale sostituzione, anche solo virtuale, $x^2=y$, il procedimento si può semplificare): nel caso generale, con A,B,C,D, dovresti ottenere A=C=0. la prof ha scritto solo A,B (al posto dei precedenti B,D).
se fai i conti dovresti ottenere A=1/24, B=-1/24.
@ Gugo82
nella spiegazione di qualche post fa, nella foga di presentare un esempio interessante, hai scritto la scomposizione di $x^3-1$ e non di $x^3+1$.
ciao.
se fai i conti dovresti ottenere A=1/24, B=-1/24.
@ Gugo82
nella spiegazione di qualche post fa, nella foga di presentare un esempio interessante, hai scritto la scomposizione di $x^3-1$ e non di $x^3+1$.
ciao.
Buongiorno a tutti 
Scusate se riesumo questo vecchio post, ma mi sorge un piccolo dubbio a riguardo:
nel caso io abbia dei poli multipli al denominatore (per semplificazione consideriamoli doppi) mi sembra di aver capito di avere due strade "equivalenti" (questo è il mio dubbio) per risolvere la scomposizione:
ad esempio per scomporre questa frazione:
[tex]\frac{P(x)}{(x-a)^{2}{(x+b)}}[/tex]
Ho visto sia questo metodo:
[tex]\frac{A}{(x+a)^{2}}+\frac{B}{(x+a)}+\frac{C}{(x+b)}[/tex]
che questo
[tex]\frac{Ax+B}{(x+a)^{2}}+\frac{C}{(x+b)}[/tex]
Mi pare di aver capito che sono equivalenti perchè se nel primo dei due eseguissi la somma tra i primi due termini otterrei una espressione "simile" (ma non uguale" alla seconda scrittura.
in definitiva vi chiedo se sono davvero due metodi equivalenti
Grazie in anticipo a tutti
Scusate se riesumo questo vecchio post, ma mi sorge un piccolo dubbio a riguardo:
nel caso io abbia dei poli multipli al denominatore (per semplificazione consideriamoli doppi) mi sembra di aver capito di avere due strade "equivalenti" (questo è il mio dubbio) per risolvere la scomposizione:
ad esempio per scomporre questa frazione:
[tex]\frac{P(x)}{(x-a)^{2}{(x+b)}}[/tex]
Ho visto sia questo metodo:
[tex]\frac{A}{(x+a)^{2}}+\frac{B}{(x+a)}+\frac{C}{(x+b)}[/tex]
che questo
[tex]\frac{Ax+B}{(x+a)^{2}}+\frac{C}{(x+b)}[/tex]
Mi pare di aver capito che sono equivalenti perchè se nel primo dei due eseguissi la somma tra i primi due termini otterrei una espressione "simile" (ma non uguale" alla seconda scrittura.
in definitiva vi chiedo se sono davvero due metodi equivalenti
Grazie in anticipo a tutti
Si, sono equivalenti...
Però occhio, gli [tex]A,B[/tex] della seconda scrittura non sono uguali a quelli della prima!
Infatti prendendo il denominatore comune si trova:
[tex]\frac{A}{(x+a)^{2}}+\frac{B}{x+a}=\frac{Bx+(A+Ba)}{(x+a)^2}[/tex]
ossia una cosa del tipo [tex]\frac{\alpha x+\beta}{(x+a)^2}[/tex] con [tex]\alpha,\beta \in \mathbb{C}[/tex] legati ad [tex]A,B[/tex] dalle relazioni [tex]\alpha =B ,\beta =A+aB[/tex].
Però alcune volte, invece di prendere il denominatore comune, può essere più utile scrivere una decomposizione in fratti semplici del tipo:
[tex]\frac{A}{(x+a)^{2}}+\frac{B}{x+a}+\frac{C}{x+b}[/tex]
nel modo che segue:
[tex]-\frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ \frac{A}{x+a} \right] +\frac{B}{x+a}+\frac{C}{x+b}[/tex],
ove consideri i termini di denominatore di grado [tex]>1[/tex] come derivate (questo trucco si chiama formula di Hermite).
Ovviamente la convenienza dipende un po' dal caso e da cosa vuoi farci con la decomposizione.
Però occhio, gli [tex]A,B[/tex] della seconda scrittura non sono uguali a quelli della prima!
Infatti prendendo il denominatore comune si trova:
[tex]\frac{A}{(x+a)^{2}}+\frac{B}{x+a}=\frac{Bx+(A+Ba)}{(x+a)^2}[/tex]
ossia una cosa del tipo [tex]\frac{\alpha x+\beta}{(x+a)^2}[/tex] con [tex]\alpha,\beta \in \mathbb{C}[/tex] legati ad [tex]A,B[/tex] dalle relazioni [tex]\alpha =B ,\beta =A+aB[/tex].
Però alcune volte, invece di prendere il denominatore comune, può essere più utile scrivere una decomposizione in fratti semplici del tipo:
[tex]\frac{A}{(x+a)^{2}}+\frac{B}{x+a}+\frac{C}{x+b}[/tex]
nel modo che segue:
[tex]-\frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ \frac{A}{x+a} \right] +\frac{B}{x+a}+\frac{C}{x+b}[/tex],
ove consideri i termini di denominatore di grado [tex]>1[/tex] come derivate (questo trucco si chiama formula di Hermite).
Ovviamente la convenienza dipende un po' dal caso e da cosa vuoi farci con la decomposizione.
ho capito, grazie mille della risposta 
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