Scomposizione di campi vettoriali
Salve mi chiedevo se è sempre possibile scomporre NON NECESSARIAMENTE IN MODO UNIVOCO un qualsiasi campo Sufficientemente regolare in due campi rispettivamente a rotore e divergenza nulla...
Mi spiego: se il campo tende a 0 all'infinito in modulo, allora ok il teo di Helmholtz dice che la scomposizione è univoca, ma se non ho questa ipotesi? Posso comunque scomporlo, anche se in maniera non univoca?
Il mio dubbio nasce dal fatto che non conosco campi che non si possano scrivere in tal modo, nè riesco a farmene venire in mente:
-il campo elettrostatico si può scrivere come $- nabla phi$, con $phi$ non univocamente determinato;
-il campo magnetico come $rotA$, e anche qui A non è univocamente determinato
-il campo elettrico in generale $-grad phi + dA/dt$, dove si può scegliere sempre un A tale che $d i v A=0$ e quindi sia a rotore nullo...(in fisica questa scelta si chiama Gauge di Coulomb)
Ad esempio un campo vettoriale costante in tutto lo spazio è già un campo a gradiente e rotore nulli, eppure non rientra nelle ipotesi di Helmholtz che dice che deve andare a 0 all'inifito per essere univocamente definito...
Insomma se qualcuno riuscisse a delucidarmi su sto fatto gliene sarei moltograto, è importante per me...Altrimenti questa cosa la posso solo dire per i campi che soddisfano helmholtz e non ho altre condizioni sufficienti
Mi spiego: se il campo tende a 0 all'infinito in modulo, allora ok il teo di Helmholtz dice che la scomposizione è univoca, ma se non ho questa ipotesi? Posso comunque scomporlo, anche se in maniera non univoca?
Il mio dubbio nasce dal fatto che non conosco campi che non si possano scrivere in tal modo, nè riesco a farmene venire in mente:
-il campo elettrostatico si può scrivere come $- nabla phi$, con $phi$ non univocamente determinato;
-il campo magnetico come $rotA$, e anche qui A non è univocamente determinato
-il campo elettrico in generale $-grad phi + dA/dt$, dove si può scegliere sempre un A tale che $d i v A=0$ e quindi sia a rotore nullo...(in fisica questa scelta si chiama Gauge di Coulomb)
Ad esempio un campo vettoriale costante in tutto lo spazio è già un campo a gradiente e rotore nulli, eppure non rientra nelle ipotesi di Helmholtz che dice che deve andare a 0 all'inifito per essere univocamente definito...
Insomma se qualcuno riuscisse a delucidarmi su sto fatto gliene sarei moltograto, è importante per me...Altrimenti questa cosa la posso solo dire per i campi che soddisfano helmholtz e non ho altre condizioni sufficienti
Risposte
Ragazzi ho trovato su internet una cosa che forse viene dalla mia parte: in un sito uno cita una certa "decomposizione di hopf" e dice che campi a rotore e a divergenza nulla sono un insieme ortogonale...non mi è chiaro se siano anche un insieme completo, in questo caso infatti sarei sicuro di aver ragione...qualcuno sa di cosa si tratti?
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