Scomposizione ambigua con applicazione del teorema di Ruffini
Mi trovo in difficoltà nella scomposizione di questo polinomio $P(X)= 2x^3-5x^2-4x+12$
Inizialmente ho utilizzato Ruffini che come risultato ha prodotto $(x-2)(2x^2-x-6)$ a questo punto ho svolto l'equazione di secondo grado che come soluzioni mi ha dato $x_1=2$ $x_2=-3/2$ pertanto ero giunta alla conclusione che la scomposizione finale fosse $(x-2)^2 (x+3/2)$ ma la soluzione che mi dà l libro è $(x-2)^2(2x+3)$ e non capisco veramente come mai.
Qualcuno può aiutarmi???
Inizialmente ho utilizzato Ruffini che come risultato ha prodotto $(x-2)(2x^2-x-6)$ a questo punto ho svolto l'equazione di secondo grado che come soluzioni mi ha dato $x_1=2$ $x_2=-3/2$ pertanto ero giunta alla conclusione che la scomposizione finale fosse $(x-2)^2 (x+3/2)$ ma la soluzione che mi dà l libro è $(x-2)^2(2x+3)$ e non capisco veramente come mai.
Qualcuno può aiutarmi???
Risposte
Hai provato a moltiplicare $(x-2)(x+3/2)$ e vedere il risultato?
sisi e mi ha dato come risultato $x^2-1/2x-3$ che però non è il mio polinomio di partenza 
Appunto.
Quelle soluzioni vanno bene anche per infinite altre equazioni come $4x^2-2x-12$ e così via ... mentre la scomposizione di un polinomio è altra cosa ...
Scomponi così $2x^2-x-6=2x^2-4x+3x-6=2x(x-2)+3(x-2)=(x-2)(2x+3)$
Quelle soluzioni vanno bene anche per infinite altre equazioni come $4x^2-2x-12$ e così via ... mentre la scomposizione di un polinomio è altra cosa ...
Scomponi così $2x^2-x-6=2x^2-4x+3x-6=2x(x-2)+3(x-2)=(x-2)(2x+3)$
Mmm, grazie mille 
...
Pero non ho capito una cosa , come faccio a rendermi conto di quando il teorema sulle radici di Ruffini diciamo non funziona? Cioè lo posso applicare solo se faccio le radici di un polinomio diciamo "base" nel senso che non si il multiplo di un altro? Perchè non mi sarebbe mai venuto in mente di sostituire il $-x$ con $-4x+3x$ per scomporlo ... Esiste qualche metodo standard o per lo meno pseudo standard che mi avrebbe riportato al risultato corretto ugualmente??
Grazi ancora e scusa per il disturbo
...Pero non ho capito una cosa
, come faccio a rendermi conto di quando il teorema sulle radici di Ruffini diciamo non funziona? Cioè lo posso applicare solo se faccio le radici di un polinomio diciamo "base" nel senso che non si il multiplo di un altro? Perchè non mi sarebbe mai venuto in mente di sostituire il $-x$ con $-4x+3x$ per scomporlo ... Esiste qualche metodo standard o per lo meno pseudo standard che mi avrebbe riportato al risultato corretto ugualmente??Grazi ancora e scusa per il disturbo
Ruffini in teoria andrebbe utilizzato quando non riesci a ricondurti a nessun prodotto notevole con le altre scomposizioni.
Per vedere se funziona molto banalmente una volta ottenuto il risultato basta che fai la moltiplicazione; nel tuo caso: $ P(X)= 2x^3-5x^2-4x+12 $ hai ottenuto $(x-2)(2x^2-x-6)$ qui basta che rifai la moltiplicazione e il risultato deve essere il polinomio di partenza.
Per quanto riguarda la sostituzione di $-x$ con $-4x+3x$ è una semplice somposizione per raccogliemento parziale di un trinomio non speciale.
Il tuo trinomio: $2x^2-x-6$ è del tipo $ax+bx+c=0$ i 2 numeri che sono stati presi non sono presi a caso ma la loro somma deve essere uguale a $b$ e il loro prodotto deve essere uguale a $a*c$ cioè $b=-4+3=-1$ e $a*c=-4*3=-12$.
Una volta trovato questi 2 numeri spezzi il $b$ nei 2 numeri trovati: $2x^2-4x+3x-6$ e poi fai il raccoglimento parziale:
$2x(x-2)+3(x-2)$ che diventa: $(x-2)(2x+3)$
Per vedere se funziona molto banalmente una volta ottenuto il risultato basta che fai la moltiplicazione; nel tuo caso: $ P(X)= 2x^3-5x^2-4x+12 $ hai ottenuto $(x-2)(2x^2-x-6)$ qui basta che rifai la moltiplicazione e il risultato deve essere il polinomio di partenza.
Per quanto riguarda la sostituzione di $-x$ con $-4x+3x$ è una semplice somposizione per raccogliemento parziale di un trinomio non speciale.
Il tuo trinomio: $2x^2-x-6$ è del tipo $ax+bx+c=0$ i 2 numeri che sono stati presi non sono presi a caso ma la loro somma deve essere uguale a $b$ e il loro prodotto deve essere uguale a $a*c$ cioè $b=-4+3=-1$ e $a*c=-4*3=-12$.
Una volta trovato questi 2 numeri spezzi il $b$ nei 2 numeri trovati: $2x^2-4x+3x-6$ e poi fai il raccoglimento parziale:
$2x(x-2)+3(x-2)$ che diventa: $(x-2)(2x+3)$
Sisi ma infatti l'ho utilizzato quando il polinomio era ancora di terzo grado, successivamente ho utilizzato il teorema di ruffini sulle radici scomponendo il polinomio di secondo grado che mi era rimasto per mezzo delle sue radici ovvero $(x-2) (x+3/2)$
il problema è che svolgendo la moltiplicazione non si otteneva più il polinomio iniziale, ma si otteneva il polinomio iniziale diviso 2 e non capivo come mai. Poi "axpgn" mi ha gentilmente spiegato la differenza ma non ho ancora capito se il mio errore derivasse dal fatto che il polinomio di cui ho calcolato le radici fosse riducibile attraverso un raccoglimento, poichè raccogliendo 2 si otteneva il polinomio prodotto da $(x-2) (x+3/2)$. Quindi il mio dubbio è: prima di effettuare la scomposizione tramite radici di ruffini devo accertarmi che il polinomio non sia in una forma per cui è possibile effettuare un raccoglimento comune come in questo caso???
il problema è che svolgendo la moltiplicazione non si otteneva più il polinomio iniziale, ma si otteneva il polinomio iniziale diviso 2 e non capivo come mai. Poi "axpgn" mi ha gentilmente spiegato la differenza ma non ho ancora capito se il mio errore derivasse dal fatto che il polinomio di cui ho calcolato le radici fosse riducibile attraverso un raccoglimento, poichè raccogliendo 2 si otteneva il polinomio prodotto da $(x-2) (x+3/2)$. Quindi il mio dubbio è: prima di effettuare la scomposizione tramite radici di ruffini devo accertarmi che il polinomio non sia in una forma per cui è possibile effettuare un raccoglimento comune come in questo caso???
"Ale2098":
Quindi il mio dubbio è: prima di effettuare la scomposizione tramite radici di ruffini devo accertarmi che il polinomio non sia in una forma per cui è possibile effettuare un raccoglimento comune come in questo caso???
Il raccoglimento lo fai perchè è un procedimento più veloce rispetto a Ruffini; però nessuno vieta che lo puoi fare anche per questo polinomio: $2x^2-x-6$.
Io l'ho provato a fare anche con Ruffini e il risultato è il medesimo, cioè risulta sempre $(x-2)(2x+3)$; forse ti è venuto sbagliato perchè avrai sbagliato qualche passaggio
...
@Ale2098
Da quel dici nel post iniziale, a me par di capire che hai usato Ruffini solo per il primo passo poi, visto che era un'equazione di secondo grado, hai trovato le radici pensando di scomporla "as usual", scordandoti però che il coefficiente del termine di secondo grado fosse diverso da uno (oppure hai trovato le radici dividendo tutto per due, il che non ha influenza sul valore delle radici ma ti porta ad un trinomio diverso con diversa scomposizione)
Cordialmente, Alex
Da quel dici nel post iniziale, a me par di capire che hai usato Ruffini solo per il primo passo poi, visto che era un'equazione di secondo grado, hai trovato le radici pensando di scomporla "as usual", scordandoti però che il coefficiente del termine di secondo grado fosse diverso da uno (oppure hai trovato le radici dividendo tutto per due, il che non ha influenza sul valore delle radici ma ti porta ad un trinomio diverso con diversa scomposizione)
Cordialmente, Alex
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