Scomporre frazione con polinomi

[rocco.g1]

Ciao!

Mi servirebbe un metodo veloce per scomporre la H(s) in fratti semplici in modo poi da poterla ricondurre a funzioni noti...

Cioè vi spiego...

ad esempio, se ho una cosa del genere $h(s) = -10(s^2+2s+1)/(s(s^2+1))$

per scomporla ricordo che bisogna trovare i valori per cui si annulla il denominatore... e sostituirli... ma poi non ricordo proprio...

il mio prof in questo caso fa:

$R(0) = -10$
$R(-j) = -10(2j)/(j(2j)) = 10j$

quindi a lui poi vien fuori: $v_u(t) = R(0) + 2Re(R(j)e^(jt))$ (che poi il 2 credo abbia sbagliato a scriverlo... cioè non vien fuori da niente)

da quello che capisco praticamente sostituisce alla variabile s il valore in cui non esiste la funzione considerandola però privata del termine per qui si annulla?

il -10 ad esempio con questo ragionamento esce... ma non mi trovo per R(-j)...

delucidazioni in merito?


ricordo che l'assistente di analisi I ci spiegò un procedimento analogo se non proprio questo... solo che son passati due anni e non me lo ricordo più

grazie ragazzi!

[_Tipper]

Quella funzione si può scrivere come:

$\frac{A}{s} + \frac{B}{s-j} + \frac{C}{s+j}$

dove $C$ è il complesso coniugato di $B$, inotre risulta:

$A=\lim_{s \rightarrow 0} s \frac{-10(s^2 + 2s +1)}{s(s^2+1)}$

$B=\lim_{s \rightarrow j} (s-j)\frac{-10(s^2 + 2s +1)}{s(s^2+1)}$

[elgiovo]

Metodo generale:
immagina di dover somporre $(P(x))/(Q(x))$, con $P$ e $Q$ polinomi.
$(P(x))/(Q(x))=A_1/(x-x_1)+A_2/(x-x_2)+ldots+A_n/(x-x_n)$, dove $x_1,x_2,x_3,ldots, x_n$ sono gli zeri di $Q(x)$ e $A_1,A_2,A_3,ldots,A_n$, sono i coefficienti che stai cercando.
Moltiplicando per $(x-x_i)$, con $i<=n$ ambo i membri,
$(P(x)(x-x_i))/(Q(x))=A_1/(x-x_1) (x-x_i)+A_2/(x-x_2) (x-x_i)+ldots+A_(i-1)/(x-x_(i-1)) (x-x_i)+A_(i+1)/(x-x_(i+1)) (x-x_i)+ldots+A_n/(x-x_n) (x-x_i)+A_i$
Passando al limite per $x rightarrow x_i$,
$lim_(x rightarrow x_i)(P(x)(x-x_i))/(Q(x))=lim_(x rightarrow x_i)(x-x_i)[A_1/(x-x_1)+A_2/(x-x_2)+ldots+A_(i-1)/(x-x_(i-1))+A_(i+1)/(x-x_(i+1))+ldots+A_n/(x-x_n)]+A_i$
Al primo membro portiamo $(x-x_i)$ sotto $Q(x)$ e a $Q(x)$ togliamo $Q(x_i)$ (lecito perchè $Q(x_i)=0$). Tutte quelle frazioni al 2° membro si annullano, resta solo $A_i$:
$A_i=lim_(x rightarrow x_i)(P(x))/((Q(x)-Q(x_i))/(x-x_i))=(P(x_i))/(Q'(x_i))$.

[rocco.g1]

Grazie ragazzi!!!


Tutto chiaro!!!