Schema risolvere serie di funzioni
Ciao a tutti raga; grazie al vostro aiuto sono riuscito a dare analisi I ora sto studiando analisi II e il primo argomento sono le serie di funzioni; stavo cercando di crearmi un qualche schema da utilizzare ogni volta che mi si presenta una serie.
La serie in questione (presa da un compito) è la seguente:
$\sum_{n=0}^(\+infty)\frac{e^(-nx)}{n^(2)|x|+n}$
studiare convergenza uniforme e pntuale.Secondo me c'è un errore nel testo perchè $\n$ dovrebbe partire da $1$; perchè per $n=0$ si annulla il denominatore.
Io avevo pensato che un possibile schema poterbbe essere il seguente:
Secondo voi può andare?
1)Vedo se posso ricondurmi ad una serie di potenze tramite sostituzione.
2)Se non posso ricondurmi ad una serie di potenze; allora procedo con lo studio normalmente.Quindi come prima cosa determino il dominio dele funzioni che compongono la serie.Quando determino il dominio; devo considerare la n fissata?
3)Verifico che la serie soddisfa la condizione necessaria di convergenza puntuale e uniforme.
4)Determino insieme convergenza puntuale.
Potete aiutarmi arisolvere la serie?
La serie in questione (presa da un compito) è la seguente:
$\sum_{n=0}^(\+infty)\frac{e^(-nx)}{n^(2)|x|+n}$
studiare convergenza uniforme e pntuale.Secondo me c'è un errore nel testo perchè $\n$ dovrebbe partire da $1$; perchè per $n=0$ si annulla il denominatore.
Io avevo pensato che un possibile schema poterbbe essere il seguente:
Secondo voi può andare?
1)Vedo se posso ricondurmi ad una serie di potenze tramite sostituzione.
2)Se non posso ricondurmi ad una serie di potenze; allora procedo con lo studio normalmente.Quindi come prima cosa determino il dominio dele funzioni che compongono la serie.Quando determino il dominio; devo considerare la n fissata?
3)Verifico che la serie soddisfa la condizione necessaria di convergenza puntuale e uniforme.
4)Determino insieme convergenza puntuale.
Potete aiutarmi arisolvere la serie?
Risposte
Prova a fare due passaggi.
Dopotutto lo schema è proprio quello, quindi perchè non provare ad applicarlo?
Dopotutto lo schema è proprio quello, quindi perchè non provare ad applicarlo?
Ok allora come prima cosa non posso ricondurmi ad una serie di potenze almeno penso.Il dominio dovrebbe essere tutto $R$.Ora il termine generale della serie tende a $0$ qualunque sia il valore di $x$; per cui è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza puntuale. Corretto?
"identikit_man":
Ok allora come prima cosa non posso ricondurmi ad una serie di potenze almeno penso.
OK.
"identikit_man":
Il dominio dovrebbe essere tutto $R$.
Ok.
Però l'indice della sommatoria deve partire da $1$, perchè per $n=0$ il denominatore è identicamente nullo e ci sono problemi.
"identikit_man":
Ora il termine generale della serie tende a $0$ qualunque sia il valore di $x$; per cui è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza puntuale. Corretto?
Qui starei attento.
Distingui i casi $x\geq 0$ e $x<0$.
No scusa hai ragione ho sbagliato per $x<0$ il termine generale della serie di funziuoni tende a $\infty$; quindi non si può avere convergenza puntuale per $x<0$
Ok.
Certo non ci può essere convergenza per [tex]$x<0$[/tex]; ma anche per [tex]$x=0$[/tex] la serie diverge positivamente (perchè?).
Per [tex]$x>0$[/tex] invece c'è abbondante convergenza puntuale per il criterio del confronto asintotico (perchè?).
Ora si tratta di capire se c'è pure convergenza totale in tutto [tex]$]0,+\infty[$[/tex]: come fare?
Per [tex]$x>0$[/tex] i tuoi addendi sono tutti positivi, di classe [tex]$C^\infty$[/tex] ed infinitesimi all'infinito, quindi ognuno di essi hanno massimo positivo in [tex]$]0,+\infty[$[/tex], che chiamiamo [tex]$M_n$[/tex].
Per determinare tali massimi si usano le solite tecniche di calcolo differenziale.
Una volta determinati gli [tex]$M_n$[/tex], formi la serie numerica [tex]\sum M_n[/tex] e cerchi di stabilirne il carattere: se tale serie converge, allora la serie di funzioni converge totalmente in tutto [tex]$]0,+\infty[$[/tex]; altrimenti no.
Comincia a svolgere questa parte, poi casomai vediamo cos'altro si può dire.
Certo non ci può essere convergenza per [tex]$x<0$[/tex]; ma anche per [tex]$x=0$[/tex] la serie diverge positivamente (perchè?).
Per [tex]$x>0$[/tex] invece c'è abbondante convergenza puntuale per il criterio del confronto asintotico (perchè?).
Ora si tratta di capire se c'è pure convergenza totale in tutto [tex]$]0,+\infty[$[/tex]: come fare?
Per [tex]$x>0$[/tex] i tuoi addendi sono tutti positivi, di classe [tex]$C^\infty$[/tex] ed infinitesimi all'infinito, quindi ognuno di essi hanno massimo positivo in [tex]$]0,+\infty[$[/tex], che chiamiamo [tex]$M_n$[/tex].
Per determinare tali massimi si usano le solite tecniche di calcolo differenziale.
Una volta determinati gli [tex]$M_n$[/tex], formi la serie numerica [tex]\sum M_n[/tex] e cerchi di stabilirne il carattere: se tale serie converge, allora la serie di funzioni converge totalmente in tutto [tex]$]0,+\infty[$[/tex]; altrimenti no.
Comincia a svolgere questa parte, poi casomai vediamo cos'altro si può dire.
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