Scelta - Famiglia di insiemi
Considero una famiglia indiciata di insiemi $E_(alpha)$, $alpha in I$.
Si definisce scelta ogni legge che ad ogni elemento $alpha in I$ associa un elemento di $E_alpha$ ($x_alpha$, $alpha in I$).
(*) Il testo scrive che è necessario che ciascun insieme $E_alpha$ sia non vuoto affinché sia possibile una scelta (ed è chiaro, perché una scelta è, in sostanza, una n-upla di elementi).
La cosa non chiara è la seguente: se la famiglia d'insiemi è vuota ( $I$ vuoto), allora la scelta è la scelta vuota (cioè una famiglia d'insiemi vuota ammette una e una sola scelta: quella vuota). Cosa intende? Come fa ad esistere una legge che associa ad ogni elemento $alpha in I$ un elemento dell'insieme $E_alpha$ se non esiste alcun $alpha$ nell'insieme $I$ degli indici? La situazione sembra essere analoga a (*).
Grazie delle risposte.
PS: Spero la sezione sia quella corretta. Sto riportando quanto scritto nel mio libro d'analisi.
Si definisce scelta ogni legge che ad ogni elemento $alpha in I$ associa un elemento di $E_alpha$ ($x_alpha$, $alpha in I$).
(*) Il testo scrive che è necessario che ciascun insieme $E_alpha$ sia non vuoto affinché sia possibile una scelta (ed è chiaro, perché una scelta è, in sostanza, una n-upla di elementi).
La cosa non chiara è la seguente: se la famiglia d'insiemi è vuota ( $I$ vuoto), allora la scelta è la scelta vuota (cioè una famiglia d'insiemi vuota ammette una e una sola scelta: quella vuota). Cosa intende? Come fa ad esistere una legge che associa ad ogni elemento $alpha in I$ un elemento dell'insieme $E_alpha$ se non esiste alcun $alpha$ nell'insieme $I$ degli indici? La situazione sembra essere analoga a (*).
Grazie delle risposte.
PS: Spero la sezione sia quella corretta. Sto riportando quanto scritto nel mio libro d'analisi.
Risposte
Il motivo è semplice: se $I$ è vuoto allora la funzione che cerchi è l'insieme vuoto. Si tratta di quelle tecniche sottili di teoria degli insiemi che sfruttano il fatto che $A=>B$ è vero ogni volta che $A$ è falsa indipendentemente dalla verità di $B$.
Grazie mille della risposta.
L'autore del testo, nel capitolo dedicato alle applicazioni, scrive che quando il dominio è l'insieme vuoto (e il codominio un insieme qualsiasi), si può parlare di applicazione vuota.
Il problema è che quando definisce la scelta, fa notare che solo se la famiglia d'insiemi in cui si opera la scelta è costante ( $E_alpha = E$ ) si può parlare della scelta come un'applicazione $s: I -> E$ . Quindi, se $E_alpha$ non è costante, non posso parlare di applicazione in quanto manca il codominio; e non posso nemmeno considerare il caso dell'applicazione vuota... Sbaglio?
Non capisco invece il tuo riferimento alle tabelle di verità. Come inerisce con il discorso degli insiemi?
L'autore del testo, nel capitolo dedicato alle applicazioni, scrive che quando il dominio è l'insieme vuoto (e il codominio un insieme qualsiasi), si può parlare di applicazione vuota.
Il problema è che quando definisce la scelta, fa notare che solo se la famiglia d'insiemi in cui si opera la scelta è costante ( $E_alpha = E$ ) si può parlare della scelta come un'applicazione $s: I -> E$ . Quindi, se $E_alpha$ non è costante, non posso parlare di applicazione in quanto manca il codominio; e non posso nemmeno considerare il caso dell'applicazione vuota... Sbaglio?
Non capisco invece il tuo riferimento alle tabelle di verità. Come inerisce con il discorso degli insiemi?
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