Scelta dell' $y_p$ (Equazioni differenziali)
ho la seguente equazione :
$y''-2y'+y=(e^x)/x$
come posso scegliere $y_p$ ?
io ho trovato le soluzioni dell'omogenea e sono : $y_1=e^x$ e $y_2=x*e^x$
avevo provato a scegliere $y_p=(ax^2+bx+c)*(e^x)/x$ ma non mi sembra corretta ... chi mi puo aiutare ?
$y''-2y'+y=(e^x)/x$
come posso scegliere $y_p$ ?
io ho trovato le soluzioni dell'omogenea e sono : $y_1=e^x$ e $y_2=x*e^x$
avevo provato a scegliere $y_p=(ax^2+bx+c)*(e^x)/x$ ma non mi sembra corretta ... chi mi puo aiutare ?
Risposte
Il termine noto non è in forma "comoda", ergo devi provare direttamente col metodo della variazione delle costanti.
Prova e facci sapere che ne esce.
Prova e facci sapere che ne esce.
si lo so che con il metodo della variazioni delle costanti si puo fare, ma il mio dubbio era proprio questo,
cioè non si puo fare normalmente senza il metodo della variazione delle costanti ?
cioè non si puo fare normalmente senza il metodo della variazione delle costanti ?
La $y_P$ corretta è:
$y_P= (Ax+B)x^2e^x$
Capito perchè?
$y_P= (Ax+B)x^2e^x$
Capito perchè?
"faximusy":
La $y_P$ corretta è:
$y_P= (Ax+B)x^2e^x$
Capito perchè?
No
scusa sapresti spiegarmelo ?
A me invece viene addirittura:
$y_p(x)=-xe^x+xe^xlnx$
$y_p(x)=-xe^x+xe^xlnx$
"deserto":
A me invece viene addirittura:
$y_p(x)=-xe^x+xe^xlnx$
Da che regola hai fatto derivare questo?
"frenky46":
[quote="faximusy"]La $y_P$ corretta è:
$y_P= (Ax+B)x^2e^x$
Capito perchè?
No
scusa sapresti spiegarmelo ?[/quote]Hai $e^x/x$, quindi hai una forma del tipo $P(x)x^re^(\alphax)$
Dove $P(x)$ è pari a $1/x$, quindi un polinomio di primo grado $-> (Ax+B)$
L'esponente $r$ è la molteplicità della soluzione pari ad $\alpha$ che è diversa da $0$ ed è pari a $2$
$\alpha$ è pari ad $1$, che come detto sopra, è soluzione doppia dell'equazione omogenea associata
Se invece vuoi applicare il metodo della variazione delle costanti (fai molto prima se lo sai usare bene!), il primo rigo del sistema è:
$c_1e^x+c_2xe^x$ cioè l'integrale generale
Se fosse effettivamente
allora considerando $y'_p$ e $y''_p$ e sostituendo nell'equazione $y''-2y'+y=e^x/x$ non si otterrebbe un'uguaglianza, cosa che invece si verifica con la soluzione che ho trovato io con il metodo della variazione delle costanti.
"faximusy":
$y_P= (Ax+B)x^2e^x$
allora considerando $y'_p$ e $y''_p$ e sostituendo nell'equazione $y''-2y'+y=e^x/x$ non si otterrebbe un'uguaglianza, cosa che invece si verifica con la soluzione che ho trovato io con il metodo della variazione delle costanti.
"deserto":
Se fosse effettivamente
[quote="faximusy"]
$y_P= (Ax+B)x^2e^x$
allora considerando $y'_p$ e $y''_p$ e sostituendo nell'equazione $y''-2y'+y=e^x/x$ non si otterrebbe un'uguaglianza, cosa che invece si verifica con la soluzione che ho trovato io con il metodo della variazione delle costanti.[/quote]
Si, ho capito cosa vuoi dire.
Effettivamente hai ragione, il punto è che il polinomio $P(x)$ non è in forma normale e non lo avevo considerato, ma praticamente lo avevo visto in automatico come "canonico"
Detto questo quindi l'unica soluzione ammissibile è utilizzare la variazione delle costanti.
Chiedo scusa a frenky per averlo depistato
In pratica il mio discorso di prima vale se l'equazione fosse stata: $=xe^x$
ok grazie mille lo stesso
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo