Scelta del ramo principale delle funzioni polidrome
Ragazzi riscrivo sul forum perchè avrei un'altra domanda. Il ramo principale delle funzioni polidrome complesse può essere preso in modo arbitrario? In moltissimi esercizi mi specifica nel testo che bisogna considerare il ramo principale se la funzione è polidroma. Ora con quale criterio scelgo il ramo principale? Per il logaritmo corrisponde al semiasse negativo, ma per le altre funzioni polidrome? Ok, scrivendo mi è venuto in mente che qualsiasi funzione polidroma può essere ricondotta a un logaritmo o sbaglio?
Risposte
Secondo me vogliono solo dire di non complicarsi la vita inutilmente e di scegliere sempre la soluzione più ovvia.
Es: $\sqrti=(1+i)/\sqrt2$ e non il suo opposto.
Del logaritmo quando scegli l'angolo lo prendi tra $[0,2\pi)$ e non tra $[1000,1002\pi)$.
Secondo me è tutto qui.
Es: $\sqrti=(1+i)/\sqrt2$ e non il suo opposto.
Del logaritmo quando scegli l'angolo lo prendi tra $[0,2\pi)$ e non tra $[1000,1002\pi)$.
Secondo me è tutto qui.
Quindi quando mi dice: assumendo per le funzioni polidrome il ramo principale, calcolare l'integrale....
basta considerare quello che è il primo valore o primo ramo che è appunto quello principale. E questo vale per qualsiasi funzione polidroma, cioè funzioni che non sono iniettive. Quindi se il come ramo principale dovessi prendere il semiasse positivo delle ordinate (il semiasse immaginario) non cambia nulla?
basta considerare quello che è il primo valore o primo ramo che è appunto quello principale. E questo vale per qualsiasi funzione polidroma, cioè funzioni che non sono iniettive. Quindi se il come ramo principale dovessi prendere il semiasse positivo delle ordinate (il semiasse immaginario) non cambia nulla?
=)
Per esempio, voglio calcolare il seguente integrale curvilineo assumendo per le funzioni polidrome il ramo principale
$\int_{\gamma} \frac{cos\sqrt{z}}{\sqrt{z}} \, dz$
dove $\gamma $ è la circonferenza $|z|=R$ percorsa in verso antiorario
Ora, posto $z=re^{i \theta}$ per calcolare i punti sulla circonferenza, posso già presupporre che la primitiva esiste? Cioè tra gli appunti mi ritrovo che, il ramo principale di
$F(z)=2 sin(\sqrt{z})$
è una funzione analitica e che la derivata mi da la funzione integranda. Ma io non devo prendere in considerazione la primitiva di f(z) e non di F(z)?
$\int_{\gamma} \frac{cos\sqrt{z}}{\sqrt{z}} \, dz$
dove $\gamma $ è la circonferenza $|z|=R$ percorsa in verso antiorario
Ora, posto $z=re^{i \theta}$ per calcolare i punti sulla circonferenza, posso già presupporre che la primitiva esiste? Cioè tra gli appunti mi ritrovo che, il ramo principale di
$F(z)=2 sin(\sqrt{z})$
è una funzione analitica e che la derivata mi da la funzione integranda. Ma io non devo prendere in considerazione la primitiva di f(z) e non di F(z)?
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