Scambio ordine di integrazione con Fubini-Tonelli
Sia $u \in L^p(RR)$ ($p \in [1,+\infty]$), $f \in L^1(\RR)$ e $\phi \in C_c^{\infty}(\RR)$ una funzione test ($\phi$ è a supporto compatto).
Per quale motivo la funzione
\[
F \colon \mathbb R^2 \ni (x,y) \mapsto u(y)f(x-y)\varphi^{\prime}(x)
\]
è $L^1(RR^2)$? Ho bisogno di scambiare l'ordine di integrazione in una convoluzione e vorrei far uso di Fubini-Tonelli. Sulle prime pensavo che anche la $F$ fosse a supporto compatto, ma ora dubito che ciò sia vero.
Una mano a far luce per piacere? Tenete conto che è da un po' di giorni che ho la febbre e sto male, le scemenze che potrei sparare sono inimmaginabili.
Grazie.
Per quale motivo la funzione
\[
F \colon \mathbb R^2 \ni (x,y) \mapsto u(y)f(x-y)\varphi^{\prime}(x)
\]
è $L^1(RR^2)$? Ho bisogno di scambiare l'ordine di integrazione in una convoluzione e vorrei far uso di Fubini-Tonelli. Sulle prime pensavo che anche la $F$ fosse a supporto compatto, ma ora dubito che ciò sia vero.
Una mano a far luce per piacere? Tenete conto che è da un po' di giorni che ho la febbre e sto male, le scemenze che potrei sparare sono inimmaginabili.
Grazie.
Risposte
Sia \([a,b]\) un intervallo compatto contenente il supporto di \(\varphi\) e sia \(C := \max |\varphi'|\).
Abbiamo che
\[
\int |f(x-y) \varphi'(x)| dx \leq C \int_a^b |f(x-y)| dx = C \int_{a-y}^{b-y} |f|.
\]
Definiamo \(g(y) := \int_{a-y}^{b-y} |f|\); poiché \(f\in L^1\) avremo che \(g\in W^{1,1}(\mathbb{R}\)) e dunque \(g\in L^q(\mathbb{R})\) per ogni \(q\in [1, +\infty]\) (cfr. Brezis, Coroll. 9.11).
Di conseguenza, usando la disuguaglianza di Holder,
\[
\int\left( \int |F(x,y)| \, dx\right) \,dy \leq C \int |u(y)| g(y) dy \leq C \|u\|_p \|g\|_{p'} < +\infty
\]
da cui si conclude che \(F\in L^1(\mathbb{R}^2)\).
Abbiamo che
\[
\int |f(x-y) \varphi'(x)| dx \leq C \int_a^b |f(x-y)| dx = C \int_{a-y}^{b-y} |f|.
\]
Definiamo \(g(y) := \int_{a-y}^{b-y} |f|\); poiché \(f\in L^1\) avremo che \(g\in W^{1,1}(\mathbb{R}\)) e dunque \(g\in L^q(\mathbb{R})\) per ogni \(q\in [1, +\infty]\) (cfr. Brezis, Coroll. 9.11).
Di conseguenza, usando la disuguaglianza di Holder,
\[
\int\left( \int |F(x,y)| \, dx\right) \,dy \leq C \int |u(y)| g(y) dy \leq C \|u\|_p \|g\|_{p'} < +\infty
\]
da cui si conclude che \(F\in L^1(\mathbb{R}^2)\).
Ti ringrazio per la risposta, Rigel.
Purtroppo devo chiederti un ulteriore aiuto: di fatto, non mi è consentito usare i risultati sugli embedding di Sobolev. In effetti, sto cercando di dimostrare il teorema 8.7 del Brézis e, in particolare, il lemma 8.4 (che come vedi vengono prima dei risultati di immersione): in sostanza tutto questo mi serve per mostrare che
\[
(u \star f)^{\prime} = u^{\prime} \star f
\]
se $u \in W^{1,p}(\RR)$ e $f \in L^1(RR)$. Per dimostrare questo, Brézis ha bisogno di scambiare due integrali ma mi pare che faccia un giro un po' strano: prima usa Young e poi il noto fatto sulla derivata di una convoluzione; però è un po' sfuggente... Siccome il docente ci ha lasciato come esercizio di pensare a questo punto, volevo vedere se riuscivo a trovare una strada "pulita" e chiara.
Grazie ancora.
Purtroppo devo chiederti un ulteriore aiuto: di fatto, non mi è consentito usare i risultati sugli embedding di Sobolev. In effetti, sto cercando di dimostrare il teorema 8.7 del Brézis e, in particolare, il lemma 8.4 (che come vedi vengono prima dei risultati di immersione): in sostanza tutto questo mi serve per mostrare che
\[
(u \star f)^{\prime} = u^{\prime} \star f
\]
se $u \in W^{1,p}(\RR)$ e $f \in L^1(RR)$. Per dimostrare questo, Brézis ha bisogno di scambiare due integrali ma mi pare che faccia un giro un po' strano: prima usa Young e poi il noto fatto sulla derivata di una convoluzione; però è un po' sfuggente... Siccome il docente ci ha lasciato come esercizio di pensare a questo punto, volevo vedere se riuscivo a trovare una strada "pulita" e chiara.
Grazie ancora.
Mi sembra che ciò che chiedi sia sostanzialmente contenuto nel Thm. 4.15 e nella Prop. 4.16, o sbaglio?
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