Scambio operazioni di trasformata e derivata parziale

[Plepp]

Buonasera ragazzi.
Ho una funzione $v:RR\times (0,+\infty)\to RR$ che soddisfa le seguenti proprietà:
1) $x\mapsto v(x,y)$ sta in $S(RR)$ (spazio di Schwarz) per ogni $y>0$;
2) $x\mapsto v_{yy}(x,y)$ sta in $S(RR)$ per ogni $y>0$;
3) $y\mapsto \hat{v}(\xi,y)$ è di classe $C^2$ per ogni $\xi \in RR$. Con $\hat{v}$ denoto la "trasformata parziale" di Fourier di $v$ rispetto a $x$, cioè:
\[\hat{v}(\xi,y):=\int_{\mathbb{R}}e^{-i\xi x}v(x,y)\,\text{d}x =: \mathfrak{F}(v)(\xi, y)\]
(qui $"d"x$ è la misura di Lebesgue "riscalata" di un fattore $1/\sqrt{2\pi}$)

Voglio dimostrare che, sotto queste ipotesi, risulta
\[\forall y>0,\qquad \mathfrak{F}(\partial_{yy}v(-,y))=\partial_{yy}\hat{v}(-,y)\]
Ho provato un po' a sporcarmi le mani. Dall'ipotesi (3) so che $\hat{v}(\xi,y)$ è derivabile una volta rispetto a $y$; si ha
\[\forall \xi, \qquad \partial_y\hat{v}(\xi,y)=\lim_{h\to 0}\int_{\mathbb{R}} e^{-i\xi x}\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}\,\text{d}x\]
Puntualmente si ha
\[\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}\to \partial_y v(x,y)\qquad (h\to 0) \]
ma come posso concludere ora che la convergenza si ha anche per gli integrali? Cioè che
\[\int_{\mathbb{R}} e^{-i\xi x}\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}\,\text{d}x \to \int_{\mathbb{R}} e^{-i\xi x}\partial_y v(x,y)\,\text{d}x\]
Fatto questo, dovrei aver finito. Che ne dite?

[_fabricius_1]

Hai provato a dare un'occhiata ai risultati sugli'integrali dipendenti da parametri del De Marco?

[Plepp]

Ora che me lo hai detto tu sì Ma non riesco comunque a risolvere.

I risultati che ho visto sugli integrali dipendenti da parametro prevedono o che il dominio di integrazione sia compatto, oppure che il dominio di integrazione sia qualunque ma esista una funzione sommabile che maggiora la derivata parziale di $f$. Più precisamente:

Teorema. Sia $f:A\times I\to RR$, con $A\subseteq RR^N$ misurabile secondo Lebesgue e $I$ intervallo di $RR$. Si supponga che:
1) $f(-,y)$ sia integrabile per ogni $y\in I$;
2) $f(x,-)$ sia derivabile per q.o. $x\in A$;
3) esista una funzione $g\in L^1(A)$ tale che $|\partial_y f(x,y)|\le g(x)$;
Allora la funzione
\[\phi(y):=\int_A f(x,y)\,\text{d}x\]
è derivabile in $I$ e risulta
\[\partial_y\phi(y)= \int_A \partial_y f(x,y) \,\text{d}x\]

Idee?

Secondo quanto dicono le dispense da cui sto studiando, la condizione che consente di scambiare derivata in $y$ e trasformata è la 3, cioè quella per cui $y\mapsto \hat{v}(\xi,y)$ è di classe $C^2$ per ogni $xi$.