Scambio indici doppia serie
Buongiorno a tutti... So che è domenica, ma ho un dubbio che mi assale.
Se ho $\sum_{j=1}^N |a_j|\sum_{i=1}^infty |b_(ij)|$, con N finito, perchè posso scambiare le sommatorie, ovvero $\sum_{j=1}^N |a_j|\sum_{i=1}^infty |b_(ij)|= \sum_{i=1}^infty \sum_{j=1}^N |a_j||b_(ij)|$?
So che vale perchè si tratta di sommare quantità non negative. Ma c'entra qualcosa la convergenza assoluta e un passaggio al limite? Se è così io non me lo riesco a spiegare perchè non so che le serie convergono per certo. L'unica cosa che posso dire per tali serie è che non sono indeterminate.
Lo stesso motivo giustifica anche che $\sum_{j=1}^infty |a_j|\sum_{i=1}^infty |b_(ij)|= \sum_{i=1}^infty \sum_{j=1}^infty |a_j||b_(ij)|$?
Per favore, aiutatemi.
Se ho $\sum_{j=1}^N |a_j|\sum_{i=1}^infty |b_(ij)|$, con N finito, perchè posso scambiare le sommatorie, ovvero $\sum_{j=1}^N |a_j|\sum_{i=1}^infty |b_(ij)|= \sum_{i=1}^infty \sum_{j=1}^N |a_j||b_(ij)|$?
So che vale perchè si tratta di sommare quantità non negative. Ma c'entra qualcosa la convergenza assoluta e un passaggio al limite? Se è così io non me lo riesco a spiegare perchè non so che le serie convergono per certo. L'unica cosa che posso dire per tali serie è che non sono indeterminate.
Lo stesso motivo giustifica anche che $\sum_{j=1}^infty |a_j|\sum_{i=1}^infty |b_(ij)|= \sum_{i=1}^infty \sum_{j=1}^infty |a_j||b_(ij)|$?
Per favore, aiutatemi.
Risposte
E' un caso particolare del teorema di Fubini, cfr. Rudin "Real and Complex Analysis" Thm. 8.8(a).
Ah ok grazie, sei stato molto gentile! Non conosco questo teorema, ma ora gli do comunque un'occhiata sperando che il professore, se mi fa questa domanda, non indaghi più di tanto.
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