Scambio di limiti (successioni di funzioni)

[anto_zoolander]

Ciao
Volevo sapere se la seguente dimostrazione fosse corretta.

sia $f:NNtimesI->RR, IsubseteqRR$ con $I$ illimitato superiormente e $g:I->RR$ un’altra funzione.
Supponiamo che $f->g$ uniformemente in $I$:

se $foralln inNNexistsl_n inRR:lim_(x->+infty)f_n(x)=l_n$

allora esistono $lim_(x->+infty)(lim_(n->+infty)f_n(x))$,$lim_(n->+infty)(lim_(x->infty)f_n(x))$ e coincidono.

dimostrazione

Per ipotesi abbiamo che,

• $foralln inNNforall epsilon>0existsc inI:|f_n(x)-l_n|c$

• $forallepsilon>0existsm inNN:|f_n(x)-g(x)|m,forallx inI$


1) $|f_h(x)-f_k(x)|=|f_h(x)-g(x)+g(x)-f_h(x)|leq|f_h(x)-g(x)|+|f_k(x)-g(x)|<2epsilon, forallh,k>m$

2) $|l_h-l_k|=|l_k-f_h(x)+f_h(x)-f_k(x)+f_h(x)-l_h|leq|l_k-f_h(x)|+|f_h(x)-f_k(x)|+|f_h(x)-l_h|<3epsilon
forallh,k>m,forallx>c_1$

$c_1$ sarebbe il massimo dei due valori per cui valgono le due disuguaglianze del tipo $|f_n(x)-l_n|$

Quindi si ottiene che $(l_n)_(n inNN)$ è di cauchy e pertanto $existsl inRR:l_n->l$


Ora prendiamo $|g(x)-l|=|g(x)-f_n(x)+f_n(x)-l_n+l_n-l|=|g(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-l_n|+|l_n-l|$

Per la convergenza uniforme, per le ipotesi è per quanto visto sulla successione $(l_n)_(n inNN)$ per opportuni intorni si avrà $|g(x)-l|<3epsilon$ dove i corrispondenti valori per cui varrà tale condizione dipenderanno da $epsilon$

[Sk_Anonymous]

In 2) c'è un typo - un \(f_h\) di troppo. Per il resto mi sembra che funzioni.

[anto_zoolander]

Si c’è un $f_h$ che doveva essere $f_k$

Menomale, grazie