Scambio derivata con integrale

[Ale1521]

Salve a tutti.
Vorrei sapere com'è possibile la seguente relazione:
$\frac{d}{dt}\int_v(\rho g)dv=\int_v\frac{\partial}{\partial t}(\rho g)dv$
In pratica porto la derivata nell'integrale, rendendola derivata parziale.
Che teorema applico?
Grazie per le eventuali risposte.

[dissonance]

Questa identità è corretta se sei nelle ipotesi di qualche teorema di passaggio al limite sotto integrale. Ad esempio funziona se $V$ è compatto e la funzione integranda è di classe $C^1$ (per la dimostrazione puoi vedere Rudin Principi di analisi matematica, §9.9), ma anche in tanti altri casi. Prova a fare una ricerca sul forum perché ne abbiamo parlato varie volte.

P.S.: Hai studiato l'integrale di Lebesgue e il teorema di convergenza dominata?

[gugo82]

Sarà qualche integrale che interviene in Meccanica... Se ciò è vero, le funzioni coinvolte sono regolari e $V$ è un dominio di $RR^n$, cosicché valgono tutte le ipotesi del teorema di passaggio al limite sotto il segno di dervata classico.

Se sei in coordinate euleriane, però, devi fare attenzione che $V=V(t)$; in tal caso devi prima passare alle coordinate lagrangiane, poi derivare ed infine tornare alle coordinate euleriane.