Scala degli infiniti
Quando ho delle funzioni composte come faccio a capire quale funzione e' di ordine maggiore?
Ad esempio se ho queste 6 funzioni, come faccio ad ordinarle in ordine di infinito?
$logn!$ $logn$ $e^(1/2n)$ $e^(2^n)$ $(n+1)!$ $n$
So che a lezione venivano confrontate a 2 a 2 ma non ho capito come.
E se mi chiedessero di ordinarle in ordine di infinitesimi, considerando i reciproci?
Grazie.
Ciao Kitty
Ad esempio se ho queste 6 funzioni, come faccio ad ordinarle in ordine di infinito?
$logn!$ $logn$ $e^(1/2n)$ $e^(2^n)$ $(n+1)!$ $n$
So che a lezione venivano confrontate a 2 a 2 ma non ho capito come.
E se mi chiedessero di ordinarle in ordine di infinitesimi, considerando i reciproci?
Grazie.
Ciao Kitty
Risposte
Allora.. secondo me basta un po' di intuito per arrivarci:
Partendo dal presuposto che $n^n >= n! >= a^n >= n^b >= log_c n$, abbiamo:
$(n+1)! >= e^(2^n) >= e^(1/2 n) >= n >= log n! >= log n$
(spero di non aver scritto amenità
)
Partendo dal presuposto che $n^n >= n! >= a^n >= n^b >= log_c n$, abbiamo:
$(n+1)! >= e^(2^n) >= e^(1/2 n) >= n >= log n! >= log n$
(spero di non aver scritto amenità
)
Grazie.
In pratica parte da quella nota e se tipo ho 2 esponenziali confronto quei due (esponenziali) e vedo quale e' il maggiore.. giusto?
Si' il problema delle cose intuitive è che se lo devo dimostrare non so come fare.
Si puo' usare il principio di induzione per dimostrare che un esponenziale e' maggiore di un altro?
Grazie.
ciao Kitty
In pratica parte da quella nota e se tipo ho 2 esponenziali confronto quei due (esponenziali) e vedo quale e' il maggiore.. giusto?
Si' il problema delle cose intuitive è che se lo devo dimostrare non so come fare.
Si puo' usare il principio di induzione per dimostrare che un esponenziale e' maggiore di un altro?
Grazie.
ciao Kitty
"HelloKitty87":
Grazie.
In pratica parte da quella nota e se tipo ho 2 esponenziali confronto quei due (esponenziali) e vedo quale e' il maggiore.. giusto?
Si' il problema delle cose intuitive è che se lo devo dimostrare non so come fare.
Si puo' usare il principio di induzione per dimostrare che un esponenziale e' maggiore di un altro?
Grazie.
ciao Kitty
Mmmm... beh proviamoci.
$e^(2^n) > e^(1/2 n)$
$ln (e^(2^n)) > (e^(1/2 n))$ (per far questo ovviamente gli argomenti dei logaritmi devono essere $> 0$
$2^n > 1/2 n$ a questo punto hai "trasferito il carico"... è diventato un confronto di ordini di infinito che conosci.
ord$(2^n) > $ord$(n/2)$ quindi ord$(e^(2^n)) > $ord$(e^(n/2))$
ovviamente ho usato la notazione ord($n$) per indicare l'ordine di infinito... cosa che prima avevo sottinteso. Qui lo metto perché altrimenti sembra solo un confronto tra numeri reali.. e ovviamente non è detto che se $e^a > e^b$, ord$(e^a) > $ord$(e^b) $
Bella questa cosa.. mi piace!!!
Ottima idea!
Bravo!
Ottima idea!
Bravo!
"The_Mad_Hatter":
$n >= log n!$
$log n!$ se non sbaglio tende a $n log n$ per la formula di Stirling.
come si fa da stirling ad arrivare a quello che dici tu?
"Deckard":Un appunto sul linguaggio: $logn!$ non può "tendere" a $n logn$: una successione di numeri può tendere ad un numero, non ad un'altra successione. Più corretto è dire $logn!$ è "asintoticamente equivalente" a $n log n$.
$log n!$ se non sbaglio tende a $n log n$ per la formula di Stirling.
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