Sbrigativamente

[frons79]

Se si sostiene che
\[
f(x;y)=
\begin{cases}
\frac{x^2 y^3+y^5}{x^4 +y^4} & (x;y) \ne (0;0) \\
0 & altrove
\end{cases}
\text{è derivabile in} \, (0;0)
\]
non basta semplicemente dire che nell'origine (che comunque appartiene al dominio) la funzione vale zero, quindi le derivate parziali esistono e valgono entrambe zero, e quindi la funzione è derivabile?

[frons79]

"TeM":Dunque, data la funzione \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) definita da \[ f(x,\,y) := \begin{cases} \frac{x^2\,y^3 + y^5}{x^4 + y^4} & \text{se} \; (x,\,y) \ne (0,\,0) \\ 0 & \text{se} \; (x,\,y) = (0,\,0) \end{cases} \] è evidente che il proprio dominio sia tutto \(\mathbb{R}^2\) e dato che \[ \begin{aligned} & \frac{\partial f}{\partial x}(0,\,0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h,\,0) - f(0,\,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + 0}{h^4} - 0}{h} = 0 \; ; \\ & \frac{\partial f}{\partial y}(0,\,0) := \lim_{k \to 0} \frac{f(0,\,0+k) - f(0,\,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\frac{0 + k^5}{k^4} - 0}{k} = 1 \; ; \end{aligned} \] \(f\) è derivabile in \((0,\,0)\) ove risulta \(\nabla f(0,\,0) = (0,\,1)\).

Si poteva evitare tale studio? No. Prova a ripeterlo considerando una funzione del tutto simile
a quella appena esaminata con \(y^4\) al posto di \(y^5\) e vedrai che le cose non sono così scontate.

Spero sufficientemente chiaro.

Cristallino direi. Grazie mille