Sarebbe meglio imparare le proprietà delle potenze....
Ciao ragazzi. Premetto che il titolo è volutamente provocatorio e se i Mod lo riterranno opportuno che lo cambino pure in quacosa di più adeguato.....venendo al problema.....mi stavo chiedendo come fare a dimostrare la ben nota proprietà degli esponenziali
$e^(x+y) = e^x e^y$
partendo dallo sviluppo in serie dell'esponenziale.
Ho pensato di ragionare così:
siccome sappiamo che $e^x = sum_(n=0)^(\infty) (x^n)/(n!)$ sviluppiamo in serie il RHS ottenendo $e^(x+y) = sum_(n=0)^(\infty) ((x+y)^n)/(n!)$
ora con lo sviluppo del binomio di Newton
$(x+y)^N = sum_(l=0)^N ((N),(l)) x^l y^(N-l)$
posso riscrivere
$e^(x+y) = sum_(n=0)^(\infty) 1/(n!) sum_(l=0)^n ((n),(l)) x^l y^(n-l) = sum_(n=0)^(\infty) sum_(l=0)^n 1/(n! (n-l)!) x^l y^(n-l) = sum_(n=0)^(\infty) sum_(l=0)^n 1/(n! (n-l)!) x^l y^(n-l)$
e qui c'è il passaggio rognoso. Cosa mi autorizza a dire che l'ultimo membro è uguale a
$sum_(p=0)^(\infty) sum_(q=0)^(\infty) 1/(p! q!) x^p y^q = sum_(p=0)^(\infty) 1/(p!) x^p * sum_(q=0)^(\infty) 1/(q!) y^q = e^x e^y$
a intuizione capisco che sia così sia da un punto di vista algebrico, che in analogia ai cambi di variabile per gli integrali doppi. Però proprio non riesco a trovare il modo di essere un minimo rigoroso. Qualche idea?
$e^(x+y) = e^x e^y$
partendo dallo sviluppo in serie dell'esponenziale.
Ho pensato di ragionare così:
siccome sappiamo che $e^x = sum_(n=0)^(\infty) (x^n)/(n!)$ sviluppiamo in serie il RHS ottenendo $e^(x+y) = sum_(n=0)^(\infty) ((x+y)^n)/(n!)$
ora con lo sviluppo del binomio di Newton
$(x+y)^N = sum_(l=0)^N ((N),(l)) x^l y^(N-l)$
posso riscrivere
$e^(x+y) = sum_(n=0)^(\infty) 1/(n!) sum_(l=0)^n ((n),(l)) x^l y^(n-l) = sum_(n=0)^(\infty) sum_(l=0)^n 1/(n! (n-l)!) x^l y^(n-l) = sum_(n=0)^(\infty) sum_(l=0)^n 1/(n! (n-l)!) x^l y^(n-l)$
e qui c'è il passaggio rognoso. Cosa mi autorizza a dire che l'ultimo membro è uguale a
$sum_(p=0)^(\infty) sum_(q=0)^(\infty) 1/(p! q!) x^p y^q = sum_(p=0)^(\infty) 1/(p!) x^p * sum_(q=0)^(\infty) 1/(q!) y^q = e^x e^y$
a intuizione capisco che sia così sia da un punto di vista algebrico, che in analogia ai cambi di variabile per gli integrali doppi. Però proprio non riesco a trovare il modo di essere un minimo rigoroso. Qualche idea?
Risposte
"alle.fabbri":
(*) $\quad e^(x+y) = [\ldots] = sum_(n=0)^(\infty) sum_(l=0)^n 1/(n! (n-l)!) x^l y^(n-l)$
e qui c'è il passaggio rognoso. Cosa mi autorizza a dire che l'ultimo membro è uguale a:
(**) $\quad sum_(p=0)^(\infty) 1/(p!) x^p * sum_(q=0)^(\infty) 1/(q!) y^q = e^x e^y$
a intuizione capisco che sia così sia da un punto di vista algebrico, che in analogia ai cambi di variabile per gli integrali doppi. Però proprio non riesco a trovare il modo di essere un minimo rigoroso.
L'ultimo membro di (*) è il prodotto secondo Cauchy delle due serie al primo membro di (**).
Si prova che se due serie sono assolutamente convergenti rispettivamente verso $S_1$ ed $S_2$, allora il loro prodotto secondo Cauchy converge assolutamente verso $S_1*S_2$.
Tanto basta per soddisfare la tua curiosità e la voglia di rigore, suppongo.
Grazie Gugo. Mi hai convinto. In realtà i miei crucci derivano dallo studio della cosiddetta formula di Baker-Campbell-Hausdorff (BCH in seguito). Nel senso che nelle dispense della mia prof viene riportata così
quindi BCH ci dice come fare a commutare gli esponenziali di due operatori non commutanti.
Il problema è che su internet ho trovato versioni della BCH veramente diverse da questa. E non riesco nè a capire quale sia quella "vera", nel senso che anche come nomenclatura c'è molta confusione tra la BCH e il lemma di Hadamard e la formula di Zassenhaus.....sono davvero in alto mare. Sto cercando di dimostrarla ma mi sembra, piuttosto, di essere intento a rincorrermi la coda.....
Qualcuno sa quale possa essere un buon testo su cui studiare queste cose?
dati due operatori A e B, esponenzializzabili, tali che $[A,[A,B]]=[B,[B,A]]=0$ si dimostra che
$e^A e^B = e^B e^A e^([A,B])$
quindi BCH ci dice come fare a commutare gli esponenziali di due operatori non commutanti.
Il problema è che su internet ho trovato versioni della BCH veramente diverse da questa. E non riesco nè a capire quale sia quella "vera", nel senso che anche come nomenclatura c'è molta confusione tra la BCH e il lemma di Hadamard e la formula di Zassenhaus.....sono davvero in alto mare. Sto cercando di dimostrarla ma mi sembra, piuttosto, di essere intento a rincorrermi la coda.....
Qualcuno sa quale possa essere un buon testo su cui studiare queste cose?
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