Sarà vero??? Ma và... questione "aperta"
Salve, visto che muovo i primi passi, vi volevo chiedere se quanto scritto sotto è corretto... A me pare troppo bello per essere vero, quindi sicuramente l'enunciato è falso... ma stasera non trovo l'errore nella (mia) dimostrazione... se volete darci un'occhiata... Ho usato anche Mathml, per quanto ho potuto, come vedete mi sono impegnato 
1) Preso un aperto $A!=O/$, esiste un chiuso $X$ contenuto in esso diverso dal vuoto. Si lavora in uno spazio topologico T1.
$X sube A$ $<=>$ $Y=CXsupeCA$ (quella C vuol dire complementare rispetto allo spazio topologico, l'uguale dopo la Y è una definizione di Y)
Si deve quindi trovare un Y aperto e diverso dall'intero spazio, che contenga il complementare di A. Essendo A diverso dal vuoto, $CA!=$spazio e quindi esiste $y!inCA$. Essendo lo spazio T1, per ogni $x$$in$$CA$ si può trovare un intorno, o meglio un aperto Ux di x che non contenga y. Ora l'aperto voluto si definisce come l'unione di tutti questi aperti Ux. Questo aperto, chiamiamolo $W$ per costruzione conterrà tutti i punti di $CA$ e sarà diverso dall'intero spazio, visto che non contiene y. Passando ai complementari si ha il chiuso voluto.
1) Preso un aperto $A!=O/$, esiste un chiuso $X$ contenuto in esso diverso dal vuoto. Si lavora in uno spazio topologico T1.
$X sube A$ $<=>$ $Y=CXsupeCA$ (quella C vuol dire complementare rispetto allo spazio topologico, l'uguale dopo la Y è una definizione di Y)
Si deve quindi trovare un Y aperto e diverso dall'intero spazio, che contenga il complementare di A. Essendo A diverso dal vuoto, $CA!=$spazio e quindi esiste $y!inCA$. Essendo lo spazio T1, per ogni $x$$in$$CA$ si può trovare un intorno, o meglio un aperto Ux di x che non contenga y. Ora l'aperto voluto si definisce come l'unione di tutti questi aperti Ux. Questo aperto, chiamiamolo $W$ per costruzione conterrà tutti i punti di $CA$ e sarà diverso dall'intero spazio, visto che non contiene y. Passando ai complementari si ha il chiuso voluto.
Risposte
"Thomas":
Salve, visto che muovo i primi passi, vi volevo chiedere se quanto scritto sotto è corretto... A me pare troppo bello per essere vero, quindi sicuramente l'enunciato è falso... ma stasera non trovo l'errore nella (mia) dimostrazione... se volete darci un'occhiata... Ho usato anche Mathml, per quanto ho potuto, come vedete mi sono impegnato
1) Preso un aperto $A!=O/$, esiste un chiuso $X$ contenuto in esso diverso dal vuoto. Si lavora in uno spazio topologico T1.
$X sube A$ $<=>$ $Y=CXsupeCA$ (quella C vuol dire complementare rispetto allo spazio topologico, l'uguale dopo la Y è una definizione di Y)
Si deve quindi trovare un Y aperto e diverso dall'intero spazio, che contenga il complementare di A. Essendo A diverso dal vuoto, $CA!=$spazio e quindi esiste $y!inCA$. Essendo lo spazio T1, per ogni $x$$in$$CA$ si può trovare un intorno, o meglio un aperto Ux di x che non contenga y. Ora l'aperto voluto si definisce come l'unione di tutti questi aperti Ux. Questo aperto, chiamiamolo $W$ per costruzione conterrà tutti i punti di $CA$ e sarà diverso dall'intero spazio, visto che non contiene y. Passando ai complementari si ha il chiuso voluto.
Mi sembra giusta, solo tieni presente che si può dimostrare che uno spazio è $T_{1}$ se e solo se ogni suo punto è chiuso, quindi ${y}$ è chiuso e tra l'altro potrebbe essere $W={y}$. L'aspetto interessante sarebbe vedere se esiste in $A$ un chiuso più "grande" di un punto (insiemi entrambi infiniti se no è facile
).Per chiarezza la mia definizione di spazio $T_{1}$ è $forall x,y in X$ $exists U_{x}, U_{y}$ aperti tali che $y notin U_{x}$ , $x notin U_{y}$, $x in U_{x}$, $y in U_{y}$.
Saluti
Mistral
Grazie per ora...
ps: sconcertante! Allora i punti sono chiusi in una qualunque metrica... se ne sentono di nuove ogni giorno... del resto è abb naturale
ps: sconcertante! Allora i punti sono chiusi in una qualunque metrica... se ne sentono di nuove ogni giorno
... del resto è abb naturale
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