Sapete calcolare questo limite?

[smaug1]

Come calcolereste il limite di questa funzione per x che tende a + infinito???

\(\displaystyle x log[ \frac{log(x-1)}{logx}] \)

Io ho iniziato utilizzando la proprietà dei logaritmi che mi permette di "spezzare" il numeratore scrivendolo come una somma...sicuramente si fa con taylor, ma non ci riesco! il risultato è 0. Grazie

[Rigel1]

Puoi osservare che, per $x\to +\infty$,
\[ \log[\frac{\log(x-1)}{\log x}] \sim \frac{\log(x-1)}{\log x} - 1 = \frac{\log(x-1)-\log x}{\log x} =
\frac{1}{\log x} \log(1 - 1/x) \sim -\frac{1}{x\log x}. \]

[_prime_number]

Io inizierei portando dentro la x e riducendomi a calcolare
$\lim_{x \to +\infty} (\frac{\log (x-1)}{\log x})^x$
che è una forma $1^\infty$, dunque da ricondurre la limite notevole $\lim_{x\to\infty}(1+1/x)^x$:
[ometto $x\to +\infty$]
$\lim (1+ (\frac{\log (x-1)}{\log x}-1))^x=\lim (1+ \frac{\log (x-1)-\log x}{\log x})^x=\lim (1+ \frac{\log (1-1/x)}{\log x})^x=$
$lim ((1+ \frac{\log (1-1/x)}{\log x})^\frac{\log x}{\log (1-1/x)})^{x \frac{\log (1-1/x)}{\log x}}$...

Paola