Salve a tutti

[attila3]

qualcuno ha qualche idea??

Verificare che la funzione f(x)= ax+b\(fratto)cx+d è costante (f(x)=k, per ognix appartenente al dominio di f) se ad-bc=0
Suggerimento: verificare la condizione f(x1)=f(x2) per generici x1 diverso da x2.


Dimostrare che date f,g:A compreso R -->R convesse, è convessa anche la funzione h(x)=f(x)+g(x).

grazie

[goblyn]

Se la funzione è costante nel suo dominio allora la sua derivata è uguale a zero in tale dominio. Calcoliamo la derivata:

f'(x) = [a*(cx+d) - (ax+b)*c] / (cx+d)^2 =

= (ad-bc) / (cx+d)^2

che è = 0 se e solo se ad-bc=0.
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Se f è convessa allora:

t*f(x1) + (1-t)*f(x2) > f(x)

per ogni t compreso tra 0 e 1 e per ogni x1 ex2 appartenenti ad A e per ogni x compreso tra x1 e x2.

Quello che c'è scrritto sopra significa solo che il segmento che unisce due punti di f sta sopra la funzione stessa (ma questa è concavità o convessità...? non mi ricordo mai... cmq il ragionamento non cambia!)

Se g è convessa allora:

t*g(x1) + (1-t)*g(x2) > f(x)

con le stesse precisazioni di prima.

Basta sommare membro a membro queste 2 disequazioni per ottenere la tesi!

[Sk_Anonymous]

1)Penso che si puo' fare a meno del sugg.
infatti moltiplcando num e denum della
frazione per "d" ( supposto diverso da 0)si ha:
(ax+b)/(cx+d)=(adx+bd)/(d(cx+d))=
(bcx+bd)/(d(cx+d))=b(cx+d)/(d(cx+d))=b/d=costante.
Se poi d=0 deve essere c<>0 altrimenti la f(x)
non e' definita;percio' (essendo bc=ad=0)
sara' b=0 e quindi:
(ax+b)/(cx+d)=ax/cx=a/c=costante.
2)Essendo f e g convesse in A dati x1 e x2, cmq
scelti in A ,sara':
h((x1+x2)/2)=f((x1+x2)/2)+g((x1+x2)/2))>
(f(x1)+f(x2))/2+(g(x1)+g(x2))/2=(h(x1)+h(x2))/2
Quindi in conclusione:
h((x1+x2)/2)>(h(x1)+h(x2))/2 C.V.D.
Occorre conoscere la condizione di convessita' che
e'(se ricordo bene):
f((x1+x2)/2)>(f(x1)+f(x2))/2 cmq siano x1 e x2 in D (D=dominio
della f(x)).