$(RR,d)$ è uno spazio metrico.
Ciao a tutti, mi chiedo se valga in $RR$ questa giustificazione per la disuguaglianza triangolare: \[\displaystyle d(x,y)=|x-y|=|x-z+z-y|\le |x-z|+|z-y|=d(x,z)+d(z,y) \] ottenuta semplicemente sommando e sottraendo $z$? Devo dimostrare che $RR$ dotato della distanza euclidea è uno spazio metrico, e questa è l'unica proprietà non immediatamente ovvia dalla definizione di valore assoluto...
Risposte
Si che è giusta.
È giustificata dal fatto che $|a+b|leq|a|+|b|$
Infatti $RR$ dotato della funzione
$|*|:RR->RR$ che associa a un elemento il suo valore assoluto
È più di uno spazio metrico, è normato, e quella distanza è indotta dalla norma
È giustificata dal fatto che $|a+b|leq|a|+|b|$
Infatti $RR$ dotato della funzione
$|*|:RR->RR$ che associa a un elemento il suo valore assoluto
È più di uno spazio metrico, è normato, e quella distanza è indotta dalla norma
Grazie anto_zoolander. Agli spazi normati ci arriverò, pian piano: il mio obiettivo è approfondire l'analisi funzionale fatta piuttosto sbrigativamente in un corso di metodi matematici 
. Siccome con la matematica non sono tanto pratico ancora, chiedo aiuto su questo ottimo forum.
Intanto che ci sono chiedo anche per questi due esercizi: devo dire se $RR$ munito delle funzioni $d(x,y)=(x-y)^2$ e $d(x,y)=\sqrt(|x-y|)$ siano a loro volta spazi metrici.
Per la prima: \[\displaystyle d(x,z)+d(z,y)=(x-z)^2+(z-y)^2=x^2+z^2-2xz+z^2+y^2-2zy=x^2+y^2+2z^2-2xz-2xy, \\ d(x,y)=x^2+y^2-2xy,\] quindi \(\displaystyle d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y) \) implicherebbe \(\displaystyle 2z^2-2xz\ge 0 \). Tuttavia questa disuguaglianza non è verificata per tutti i numeri reali; basta ad affermare che la prima distanza non induce una metrica su $RR$?
Per la seconda: dovrebbe funzionare tutto, compresa la disuguaglianza triangolare. Infatti, usando lo stesso trucco di prima, \[\displaystyle \sqrt{|x-y|}\le \sqrt{|x-z|+|z-y|}\le\sqrt{|x-z|}+\sqrt{|z-y|}, \] ricordando la tua \(\displaystyle |a+b|\le |a|+|b| \) e \(\displaystyle \sqrt{a+b}\le \sqrt a + \sqrt b \).
. Siccome con la matematica non sono tanto pratico ancora, chiedo aiuto su questo ottimo forum.Intanto che ci sono chiedo anche per questi due esercizi: devo dire se $RR$ munito delle funzioni $d(x,y)=(x-y)^2$ e $d(x,y)=\sqrt(|x-y|)$ siano a loro volta spazi metrici.
Per la prima: \[\displaystyle d(x,z)+d(z,y)=(x-z)^2+(z-y)^2=x^2+z^2-2xz+z^2+y^2-2zy=x^2+y^2+2z^2-2xz-2xy, \\ d(x,y)=x^2+y^2-2xy,\] quindi \(\displaystyle d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y) \) implicherebbe \(\displaystyle 2z^2-2xz\ge 0 \). Tuttavia questa disuguaglianza non è verificata per tutti i numeri reali; basta ad affermare che la prima distanza non induce una metrica su $RR$?
Per la seconda: dovrebbe funzionare tutto, compresa la disuguaglianza triangolare. Infatti, usando lo stesso trucco di prima, \[\displaystyle \sqrt{|x-y|}\le \sqrt{|x-z|+|z-y|}\le\sqrt{|x-z|}+\sqrt{|z-y|}, \] ricordando la tua \(\displaystyle |a+b|\le |a|+|b| \) e \(\displaystyle \sqrt{a+b}\le \sqrt a + \sqrt b \).
"Lèo":
[...] Tuttavia questa disuguaglianza non è verificata per tutti i numeri reali; basta ad affermare che la prima distanza non induce una metrica su $RR$? [...]
Sì.
"Lèo":
[...] Per la seconda: dovrebbe funzionare tutto, compresa la disuguaglianza triangolare. Infatti, usando lo stesso trucco di prima, \[\displaystyle \sqrt{|x-y|}\le \sqrt{|x-z|+|z-y|}\le\sqrt{|x-z|}+\sqrt{|z-y|}, \] ricordando la tua \(\displaystyle |a+b|\le |a|+|b| \) e \(\displaystyle \sqrt{a+b}\le \sqrt a + \sqrt b \).
E' corretto. Più in generale se \(d\) è una metrica e \( p \in (0,1] \subseteq \mathbb{R} \), \( d^p \) è una metrica.
"Delirium":
Più in generale se $d$ è una metrica e $p∈(0,1]⊆RR$, $d_p$ è una metrica.
Come si dimostra questo fatto?
Facendo i conti... 
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