$RR^(ast)$ compatto.

[compa90]

Buongiorno, sto studiando il concetto di compattezza, in particolare faccio riferimento alla definizione di Heine-Borel.

Sto provando di capire perché l'insieme $RR^(ast)=RRcup{-infty}cup{+infty}$ è compatto.

Ricordo le due definizioni
Copertura: Dato $EsubseteqRR^n$ e sia $\mathfrak{F}$ famiglia di aperti di $RR^n$. L'unione $bigcupA$ con $A in \mathfrak{F}$, è una copertura per $E$ se $EsubseteqbigcupA$.

Compatto: $EsubseteqRR^n$ è compatto se da ogni sua copertura di $E$ si può estrarre un numero finito di insiemi di aperti $A_1,A_2,...,A_n$ per cui risulta $Esubseteqbigcup_(i=1)^(i=n)A_i$, cioè risulti ancora una copertura di $E$.



Per dimostrare che $RR^(ast)$ è un compatto, procedo cosi.
Sia $bigcupA$ con $A in \mathfrak{F}$, una copertura per $RR^(ast)$, allora in particolare deve contenere gli intorni di $-infty$ e $+infty$, cioè deve contenere

${x in RR^(ast): -inftyle x ${x in RR^(ast): b con $a, b in RR: a inoltre, deve contenere gli aperti che dovranno coprire l'intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, ad esempio $(x-alpha,x+alpha)$ con $x in [a,b]$ e $0
Qui ho il dubbio, se vado a estrarre ad esempio un solo intervallo aperto che copre l'intervallo $[a,b]$ non ho più una copertura, ad esempio se tolgo l'intervallo $(-alpha,+alpha)$.

Ho sbagliato a determinare la copertura, oppure detto in termini semplici, dovrei prendere una copertura che abbia un numero abbastanza alto di insieme aperti, in modo tale che se vado a togliere un numero finito di aperti risulti ancora una copertura ?

Ciao

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Risposte

megas_archon

27 feb 2023, 09:52

Non è molto chiaro compatto rispetto a quale topologia... Probabilmente sui reali "finiti" vuoi quella solita, ma qual è un sistema di intorni degli infiniti?

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compa90

27 feb 2023, 10:22

In $RR$ la topologia quella classica, invece, per i due punti $pm infty$ gli intorni sono

$ {x in RR^(ast): -inftyle x

$ {x in RR^(ast): b

Queste posizioni sono state fatte dagli autori del libro: PAGANI-SALSA ANALISI MATEMATICA UNO.

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ViciousGoblin

27 feb 2023, 12:03

"compa90":

Per dimostrare che $RR^(ast)$ è un compatto, procedo cosi.
Sia $bigcupA$ con $A in \mathfrak{F}$, una copertura per $RR^(ast)$, allora in particolare deve contenere gli intorni di $-infty$ e $+infty$, cioè deve contenere

${x in RR^(ast): -inftyle x ${x in RR^(ast): b con $a, b in RR: a

Io avrei detto che (siccome \(\displaystyle +\infty \) e \(\displaystyle -\infty \) sono in \(\displaystyle \mathbb{R}^* \) ) devono esistere due elementi \(\displaystyle A_1 \) e \(\displaystyle A_2 \) del ricoprimento tali che \(\displaystyle +\infty\in A_1 \) e \(\displaystyle -\infty\in A_2 \) (nota che \(\displaystyle A_1 \) e \(\displaystyle A_2 \) potrebbero anche coincidere). Per come
è fatta la topologia devono esistere \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \) tali che:
\(\displaystyle \{a

"compa90":inoltre, deve contenere gli aperti che dovranno coprire l'intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, ad esempio $(x-alpha,x+alpha)$ con $x in [a,b]$ e $0
Qui ho il dubbio, se vado a estrarre ad esempio un solo intervallo aperto che copre l'intervallo $[a,b]$ non ho più una copertura, ad esempio se tolgo l'intervallo $(-alpha,+alpha)$.

Ho sbagliato a determinare la copertura, oppure detto in termini semplici, dovrei prendere una copertura che abbia un numero abbastanza alto di insieme aperti, in modo tale che se vado a togliere un numero finito di aperti risulti ancora una copertura ?

Che vuol dire "ho sbagliato a prendere la copertura"? - la copertura non la prendi tu, ti viene data. Se da una copertura togli un aperto a caso può benissimo essere che ciò che rimane non sia più una copertura. In questo caso quello che hai tolto era "essenziale" per coprire l'insieme. Però se l'insieme è compatto di tali "elementi essenziali" ce n'è un numero finito.

Dunque devi trovare un sottoricoprimento finito per \(\displaystyle [a,b] \) ( a cui poi aggiungerai \(\displaystyle A_1 \) e \(\displaystyle A_2 \)). NON puoi aspettarti di sapere (in generale) da quanti elementi è composto questo sottoricoprimento dato che non sai come è fatto il ricoprimento (sai solo che è un ricoprimento).
Quello che devi sftruttare è che ora hai a che fare con \(\displaystyle [a,b] \) ...

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compa90

27 feb 2023, 13:17

ViciousGoblin, scusami non capisco quando dici "la copertura non la prendi tu, ti viene data" e da chi?

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ViciousGoblin

27 feb 2023, 14:00

Quando devi dimostrare che F è compatto devi dimostrare che da qualunque copertura aperta di F puoi estrarre una sottocopertura finita. Questo significa che se qualcuno ti dà una copertura tu devi essere in grado di estrarre una sottocopertura finita (almeno in linea di principio - non voglio entrare in questioni di prove costruttive e non).

Detto altrimenti tu non sai nulla sulla copertura e quindi non puoi "prendere la copertura" come pare a te. Quella che devi prendere è la sottocopertura finita (sfruttando solo le informazionio che hai e cioè che gli A sono aperti e che la loro unione contiene F) .

Non so se mi sono spiegato

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compa90

27 feb 2023, 14:36

"ViciousGoblin":Quando devi dimostrare che F è compatto devi dimostrare che da qualunque copertura aperta di F puoi estrarre una sottocopertura finita. Questo significa che se qualcuno ti dà una copertura tu devi essere in grado di estrarre una sottocopertura finita

Ok, quindi, l'importante che devono essere in grado di far vedere che esiste almeno una sottocopertura finita che risulti ancora una copertura, giusto ?

"ViciousGoblin": Detto altrimenti tu non sai nulla sulla copertura e quindi non puoi "prendere la copertura" come pare a te. Quella che devi prendere è la sottocopertura finita (sfruttando solo le informazionio che hai e cioè che gli A sono aperti e che la loro unione contiene F) .

Allora, se volessi dimostrare che $RR^(**)$ è un compatto, devo procedere cosi:
Sia $mathfrak{F}$ una famiglia di aperti di $RR$ per cui formi una copertura di $RR^(**)$.
Essa deve contenere due elementi \( \displaystyle A_1 \) e \( \displaystyle A_2 \) per cui \( \displaystyle +\infty\in A_1 \) e \( \displaystyle -\infty\in A_2 \).
In particolare, con \( \displaystyle \{a
Qui mi blocco,
Inoltre, essa deve contenere $A_i in mathfrak{F}$ che coprano l'intervallo $[a,b]$

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ViciousGoblin

27 feb 2023, 15:12

Cosa sai sugli intervalli limitati e chiusi ?

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compa90

27 feb 2023, 15:20

Teorema di Heine-Borel
$EsubseteqRR^n$ compatto se e solo se chiuso e limitato

Quindi, l'intervallo $[a,b]$ è compatto

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ViciousGoblin

27 feb 2023, 15:56

Esatto. Ora dovrebbe essere in discesa.

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compa90

27 feb 2023, 16:30

Forse, ci sono, ricopio il discorso fatto in precedenza.

Sia $ mathfrak{F} $ una famiglia di aperti di $ RR $ per cui formi una copertura di $ RR^(**) $, quindi, essa deve contenere due elementi \( \displaystyle A_1 \) e \( \displaystyle A_2 \) tali che \( \displaystyle +\infty\in A_1 \) e \( \displaystyle -\infty\in A_2 \).
In particolare, con \( \displaystyle \{a
Ora, sapendo che l'intervallo chiuso e limitato è un compatto, quindi per definizione per ogni sua copertura è possibile estrarre una famiglia finita $F$ di aperti che sia ancora una copertura.
Dunque, se considero l'unione dei due insieme $A_1, A_2$ con la famiglia finita $F$ ho estratto una famiglia finita di aperti che è ancora una copertura, quindi $RR^**$ è compatto.

Giusto?

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ViciousGoblin

27 feb 2023, 18:25

Sì è giusto con una precisazione da fare. Quando usi la compattezza di $[a,b]$ devi usare un ricoprimento di $[a,b]$ in $\mathbb{R}$ e quindi non puoi usare il ricoprimento originale i cui elementi $A$ sono in $\mathbb{R}^\star$. Niente di grave:
dato $A$ in $\mathcal{F}$ definisci $A':=A\setminus\{-\infty,\infty\}=A\cap\mathbb{R}$ e chiami $\mathcal{F}'$ l'inseme degli $A'$.
Ora $\mathcal{F}'$ è un ricoprimento aperto (perchè?) di $[a,b]$ e puoi ragionare come hai detto.

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[megas_archon]

Non è molto chiaro compatto rispetto a quale topologia... Probabilmente sui reali "finiti" vuoi quella solita, ma qual è un sistema di intorni degli infiniti?

[compa90]

In $RR$ la topologia quella classica, invece, per i due punti $pm infty$ gli intorni sono

$ {x in RR^(ast): -inftyle x

$ {x in RR^(ast): b

Queste posizioni sono state fatte dagli autori del libro: PAGANI-SALSA ANALISI MATEMATICA UNO.

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ViciousGoblin

27 feb 2023, 12:03

"compa90":

Per dimostrare che $RR^(ast)$ è un compatto, procedo cosi.
Sia $bigcupA$ con $A in \mathfrak{F}$, una copertura per $RR^(ast)$, allora in particolare deve contenere gli intorni di $-infty$ e $+infty$, cioè deve contenere

${x in RR^(ast): -inftyle x ${x in RR^(ast): b con $a, b in RR: a

Io avrei detto che (siccome \(\displaystyle +\infty \) e \(\displaystyle -\infty \) sono in \(\displaystyle \mathbb{R}^* \) ) devono esistere due elementi \(\displaystyle A_1 \) e \(\displaystyle A_2 \) del ricoprimento tali che \(\displaystyle +\infty\in A_1 \) e \(\displaystyle -\infty\in A_2 \) (nota che \(\displaystyle A_1 \) e \(\displaystyle A_2 \) potrebbero anche coincidere). Per come
è fatta la topologia devono esistere \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \) tali che:
\(\displaystyle \{a

"compa90":inoltre, deve contenere gli aperti che dovranno coprire l'intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, ad esempio $(x-alpha,x+alpha)$ con $x in [a,b]$ e $0
Qui ho il dubbio, se vado a estrarre ad esempio un solo intervallo aperto che copre l'intervallo $[a,b]$ non ho più una copertura, ad esempio se tolgo l'intervallo $(-alpha,+alpha)$.

Ho sbagliato a determinare la copertura, oppure detto in termini semplici, dovrei prendere una copertura che abbia un numero abbastanza alto di insieme aperti, in modo tale che se vado a togliere un numero finito di aperti risulti ancora una copertura ?

Che vuol dire "ho sbagliato a prendere la copertura"? - la copertura non la prendi tu, ti viene data. Se da una copertura togli un aperto a caso può benissimo essere che ciò che rimane non sia più una copertura. In questo caso quello che hai tolto era "essenziale" per coprire l'insieme. Però se l'insieme è compatto di tali "elementi essenziali" ce n'è un numero finito.

Dunque devi trovare un sottoricoprimento finito per \(\displaystyle [a,b] \) ( a cui poi aggiungerai \(\displaystyle A_1 \) e \(\displaystyle A_2 \)). NON puoi aspettarti di sapere (in generale) da quanti elementi è composto questo sottoricoprimento dato che non sai come è fatto il ricoprimento (sai solo che è un ricoprimento).
Quello che devi sftruttare è che ora hai a che fare con \(\displaystyle [a,b] \) ...

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compa90

27 feb 2023, 13:17

ViciousGoblin, scusami non capisco quando dici "la copertura non la prendi tu, ti viene data" e da chi?

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ViciousGoblin

27 feb 2023, 14:00

Quando devi dimostrare che F è compatto devi dimostrare che da qualunque copertura aperta di F puoi estrarre una sottocopertura finita. Questo significa che se qualcuno ti dà una copertura tu devi essere in grado di estrarre una sottocopertura finita (almeno in linea di principio - non voglio entrare in questioni di prove costruttive e non).

Detto altrimenti tu non sai nulla sulla copertura e quindi non puoi "prendere la copertura" come pare a te. Quella che devi prendere è la sottocopertura finita (sfruttando solo le informazionio che hai e cioè che gli A sono aperti e che la loro unione contiene F) .

Non so se mi sono spiegato

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compa90

27 feb 2023, 14:36

"ViciousGoblin":Quando devi dimostrare che F è compatto devi dimostrare che da qualunque copertura aperta di F puoi estrarre una sottocopertura finita. Questo significa che se qualcuno ti dà una copertura tu devi essere in grado di estrarre una sottocopertura finita

Ok, quindi, l'importante che devono essere in grado di far vedere che esiste almeno una sottocopertura finita che risulti ancora una copertura, giusto ?

"ViciousGoblin": Detto altrimenti tu non sai nulla sulla copertura e quindi non puoi "prendere la copertura" come pare a te. Quella che devi prendere è la sottocopertura finita (sfruttando solo le informazionio che hai e cioè che gli A sono aperti e che la loro unione contiene F) .

Allora, se volessi dimostrare che $RR^(**)$ è un compatto, devo procedere cosi:
Sia $mathfrak{F}$ una famiglia di aperti di $RR$ per cui formi una copertura di $RR^(**)$.
Essa deve contenere due elementi \( \displaystyle A_1 \) e \( \displaystyle A_2 \) per cui \( \displaystyle +\infty\in A_1 \) e \( \displaystyle -\infty\in A_2 \).
In particolare, con \( \displaystyle \{a
Qui mi blocco,
Inoltre, essa deve contenere $A_i in mathfrak{F}$ che coprano l'intervallo $[a,b]$

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ViciousGoblin

27 feb 2023, 15:12

Cosa sai sugli intervalli limitati e chiusi ?

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compa90

27 feb 2023, 15:20

Teorema di Heine-Borel
$EsubseteqRR^n$ compatto se e solo se chiuso e limitato

Quindi, l'intervallo $[a,b]$ è compatto

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ViciousGoblin

27 feb 2023, 15:56

Esatto. Ora dovrebbe essere in discesa.

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compa90

27 feb 2023, 16:30

Forse, ci sono, ricopio il discorso fatto in precedenza.

Sia $ mathfrak{F} $ una famiglia di aperti di $ RR $ per cui formi una copertura di $ RR^(**) $, quindi, essa deve contenere due elementi \( \displaystyle A_1 \) e \( \displaystyle A_2 \) tali che \( \displaystyle +\infty\in A_1 \) e \( \displaystyle -\infty\in A_2 \).
In particolare, con \( \displaystyle \{a
Ora, sapendo che l'intervallo chiuso e limitato è un compatto, quindi per definizione per ogni sua copertura è possibile estrarre una famiglia finita $F$ di aperti che sia ancora una copertura.
Dunque, se considero l'unione dei due insieme $A_1, A_2$ con la famiglia finita $F$ ho estratto una famiglia finita di aperti che è ancora una copertura, quindi $RR^**$ è compatto.

Giusto?

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ViciousGoblin

27 feb 2023, 18:25

Sì è giusto con una precisazione da fare. Quando usi la compattezza di $[a,b]$ devi usare un ricoprimento di $[a,b]$ in $\mathbb{R}$ e quindi non puoi usare il ricoprimento originale i cui elementi $A$ sono in $\mathbb{R}^\star$. Niente di grave:
dato $A$ in $\mathcal{F}$ definisci $A':=A\setminus\{-\infty,\infty\}=A\cap\mathbb{R}$ e chiami $\mathcal{F}'$ l'inseme degli $A'$.
Ora $\mathcal{F}'$ è un ricoprimento aperto (perchè?) di $[a,b]$ e puoi ragionare come hai detto.

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[ViciousGoblin]

"compa90":

Per dimostrare che $RR^(ast)$ è un compatto, procedo cosi.
Sia $bigcupA$ con $A in \mathfrak{F}$, una copertura per $RR^(ast)$, allora in particolare deve contenere gli intorni di $-infty$ e $+infty$, cioè deve contenere

${x in RR^(ast): -inftyle x ${x in RR^(ast): b con $a, b in RR: a

Io avrei detto che (siccome \(\displaystyle +\infty \) e \(\displaystyle -\infty \) sono in \(\displaystyle \mathbb{R}^* \) ) devono esistere due elementi \(\displaystyle A_1 \) e \(\displaystyle A_2 \) del ricoprimento tali che \(\displaystyle +\infty\in A_1 \) e \(\displaystyle -\infty\in A_2 \) (nota che \(\displaystyle A_1 \) e \(\displaystyle A_2 \) potrebbero anche coincidere). Per come
è fatta la topologia devono esistere \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \) tali che:
\(\displaystyle \{a

"compa90":inoltre, deve contenere gli aperti che dovranno coprire l'intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, ad esempio $(x-alpha,x+alpha)$ con $x in [a,b]$ e $0
Qui ho il dubbio, se vado a estrarre ad esempio un solo intervallo aperto che copre l'intervallo $[a,b]$ non ho più una copertura, ad esempio se tolgo l'intervallo $(-alpha,+alpha)$.

Ho sbagliato a determinare la copertura, oppure detto in termini semplici, dovrei prendere una copertura che abbia un numero abbastanza alto di insieme aperti, in modo tale che se vado a togliere un numero finito di aperti risulti ancora una copertura ?

Che vuol dire "ho sbagliato a prendere la copertura"? - la copertura non la prendi tu, ti viene data. Se da una copertura togli un aperto a caso può benissimo essere che ciò che rimane non sia più una copertura. In questo caso quello che hai tolto era "essenziale" per coprire l'insieme. Però se l'insieme è compatto di tali "elementi essenziali" ce n'è un numero finito.

Dunque devi trovare un sottoricoprimento finito per \(\displaystyle [a,b] \) ( a cui poi aggiungerai \(\displaystyle A_1 \) e \(\displaystyle A_2 \)). NON puoi aspettarti di sapere (in generale) da quanti elementi è composto questo sottoricoprimento dato che non sai come è fatto il ricoprimento (sai solo che è un ricoprimento).
Quello che devi sftruttare è che ora hai a che fare con \(\displaystyle [a,b] \) ...

[compa90]

ViciousGoblin, scusami non capisco quando dici "la copertura non la prendi tu, ti viene data" e da chi?

[ViciousGoblin]

Quando devi dimostrare che F è compatto devi dimostrare che da qualunque copertura aperta di F puoi estrarre una sottocopertura finita. Questo significa che se qualcuno ti dà una copertura tu devi essere in grado di estrarre una sottocopertura finita (almeno in linea di principio - non voglio entrare in questioni di prove costruttive e non).

Detto altrimenti tu non sai nulla sulla copertura e quindi non puoi "prendere la copertura" come pare a te. Quella che devi prendere è la sottocopertura finita (sfruttando solo le informazionio che hai e cioè che gli A sono aperti e che la loro unione contiene F) .

Non so se mi sono spiegato

[compa90]

"ViciousGoblin":Quando devi dimostrare che F è compatto devi dimostrare che da qualunque copertura aperta di F puoi estrarre una sottocopertura finita. Questo significa che se qualcuno ti dà una copertura tu devi essere in grado di estrarre una sottocopertura finita

Ok, quindi, l'importante che devono essere in grado di far vedere che esiste almeno una sottocopertura finita che risulti ancora una copertura, giusto ?

"ViciousGoblin": Detto altrimenti tu non sai nulla sulla copertura e quindi non puoi "prendere la copertura" come pare a te. Quella che devi prendere è la sottocopertura finita (sfruttando solo le informazionio che hai e cioè che gli A sono aperti e che la loro unione contiene F) .

Allora, se volessi dimostrare che $RR^(**)$ è un compatto, devo procedere cosi:
Sia $mathfrak{F}$ una famiglia di aperti di $RR$ per cui formi una copertura di $RR^(**)$.
Essa deve contenere due elementi \( \displaystyle A_1 \) e \( \displaystyle A_2 \) per cui \( \displaystyle +\infty\in A_1 \) e \( \displaystyle -\infty\in A_2 \).
In particolare, con \( \displaystyle \{a
Qui mi blocco,
Inoltre, essa deve contenere $A_i in mathfrak{F}$ che coprano l'intervallo $[a,b]$

[ViciousGoblin]

Cosa sai sugli intervalli limitati e chiusi ?

[compa90]

Teorema di Heine-Borel
$EsubseteqRR^n$ compatto se e solo se chiuso e limitato

Quindi, l'intervallo $[a,b]$ è compatto

[ViciousGoblin]

Esatto. Ora dovrebbe essere in discesa.

[compa90]

Forse, ci sono, ricopio il discorso fatto in precedenza.

Sia $ mathfrak{F} $ una famiglia di aperti di $ RR $ per cui formi una copertura di $ RR^(**) $, quindi, essa deve contenere due elementi \( \displaystyle A_1 \) e \( \displaystyle A_2 \) tali che \( \displaystyle +\infty\in A_1 \) e \( \displaystyle -\infty\in A_2 \).
In particolare, con \( \displaystyle \{a
Ora, sapendo che l'intervallo chiuso e limitato è un compatto, quindi per definizione per ogni sua copertura è possibile estrarre una famiglia finita $F$ di aperti che sia ancora una copertura.
Dunque, se considero l'unione dei due insieme $A_1, A_2$ con la famiglia finita $F$ ho estratto una famiglia finita di aperti che è ancora una copertura, quindi $RR^**$ è compatto.

Giusto?

[ViciousGoblin]

Sì è giusto con una precisazione da fare. Quando usi la compattezza di $[a,b]$ devi usare un ricoprimento di $[a,b]$ in $\mathbb{R}$ e quindi non puoi usare il ricoprimento originale i cui elementi $A$ sono in $\mathbb{R}^\star$. Niente di grave:
dato $A$ in $\mathcal{F}$ definisci $A':=A\setminus\{-\infty,\infty\}=A\cap\mathbb{R}$ e chiami $\mathcal{F}'$ l'inseme degli $A'$.
Ora $\mathcal{F}'$ è un ricoprimento aperto (perchè?) di $[a,b]$ e puoi ragionare come hai detto.