$RR^**$ non è uno spazio lineare.

[Pasquale 90]

Buonasera, sto leggendo questa osservazione dal seguente libro: Analisi 1 di Pagani e Salsa, ed. 2014.
In sintesi l'autore procede nella seguente maniera:
considera la retta $RR$ e vuole ottenere un suo ampliamento, quindi valuta due nuovi punti i quali sono non numeri, indicati coi simboli $+ infty$ e $- infty$, per cui si ottiene un nuovo insieme cioè

$RR^**=RR cup{+infty}cup{-infty}.$

Fin qui niente di particolarmente difficile, dopodiché procede;
Un modello di $RR^**$ si può ottenere considerando le proiezioni dal centro $C$ sulla retta $r$ dei punti della semicirconferenza. "Ovviamente qui ci sarebbe bisogno della figura, se occorre posso fare una foto e la carico"
Ora non saprei interpretare quest'ultima osservazione cioè cosa si vuole intendere con quello che ho sottolineato, in particolar modo per modello.

Poi ovviamente ci sta un'altra parte dove precisa quanto detto nel titolo, ma vorrei prima risolvere questo mio dubbio.

Grazie in anticipo a chi mi risponderà.

[vict85]

Quello che intende dire è che dal punto di vista insiemistico la semicirconferenze chiusa (o anche il semplice intervallo chiuso \(\displaystyle [0,1] \)) è equivalente a \(\displaystyle \mathbb{R}^{*} \).

[Pasquale 90]

Quindi, sostanzialmente si vuol dire che ad ogni punto della semicirconferenza possiamo determinare un ben preciso punto sulla retta $r$ compresi anche i due nuovi simboli $+ infty$ e $- infty$ ?
Ciao

[vict85]

Si esatto. I due spazi sono in realtà indistinguibili anche come spazi topologici. Inoltre l'immersione preserva l'ordine dei punti.

[cauchy00]

Scusate se mi intrometto, ma quindi i due spazi sono indistinguibili da un punto di vista topologico poiché entrambi chiusi e connessi?

[vict85]

"cauchy00":Scusate se mi intrometto, ma quindi i due spazi sono indistinguibili da un punto di vista topologico poiché entrambi chiusi e connessi?

No, la semplice chiusura e connessione non è sufficiente. Sono entrambi omeomorfi a \([0,1]\).