$RR$ è un intervallo

[compa90]

Buonasera. Ho un dubbio sul fatto che $RR$ è un intervallo aperto.
Gli intervalli aperti di $RR$ sono $\{x \in RR \ : \ a
Dire che $RR$ è un intervallo aperto, dovrebbe significare che $RR=(a,b)$, per $a,b \in RR$.

Mi chiedo comunque io scelgo $a,b$ una "fetta" di reali non sarà conteggiata, allora l'uguaglianza di sopra non è verificata. Come posso provare che $RR$ è un intervallo aperto.

[Lebesgue]

Infatti $RR = (-\infty, +\infty)$ che è un intervallo aperto nella topologia euclidea.
Rivedi cosa vuol dire essere aperto e, per favore, cerca di sbatterci un po' la testa per conto tuo.

[compa90]

Ti riporto quello che c'è scritto sulle dispense

Topologia Euclidea (che sulle dispense si chiama topologia naturale)

Sia $\mathcal{A}$ famiglia delle unioni di intervalli aperti di $RR$. Si ha la seguente caratterizzazione

$A\in \mathcal{A} \leftrightarrow \ \forall x \in A \ \exists a,b \ \in RR \ : x\in(a,b)\subseteq A$

Questa caratterizzazione dice che preso $A \in \mathcal{A}$, allora per ogni punto di $A$ esistono due reali $a,b$ tali per cui l'intervallo da essi individuato è contenuto di $A$ e il punto $x$ gli appartiene. Quindi, $(-\infty,+\infty)$ fa parte della famiglia, perché se prendo $x \in (-\infty, +\infty)$ allora $\-infty

Cita

Segnala

[Lebesgue]

e quindi cosa non ti è chiaro?
Mi hai appena detto che $RR$ è un aperto, dato che appartiene alla famiglia

[Martino]

Compa90 chiede perché $RR$ è un intervallo.

Compa90, la definizione di intervallo non è quella che hai scritto.

Qual è invece la definizione di intervallo?

[gugo82]

Potrebbe interessare questo.

[Franc711]

Puoi pensare a questa definizione di intervallo: un insieme $I \subseteq R $ è un intervallo se dati comunque due punti (o elementi o numeri reali) $a, b \in I$ con, ad esempio, $a In simboli $I \subseteq R$ intervallo se e solo se $[a ; b] \subseteq I$ $\forall a, b \in I$ con $a Con questa definizione di intervallo, l'intero insieme $R$ è banalmente tale.

[compa90]

Ciao a tutti. La definizione che ho trovato di intervallo sul testo di Analisi matematica uno di De Marco Giuseppe, è la seguente
Definizione: $I \subseteq \mathbb{R} $ si dice intervallo di $RR$ se è connesso rispetto alla relazione d'ordine, cioè se $a,b \in RR$, e per ogni $x \in RR \ :\ a\le x\le b$ allora $x \in RR$. Da questo segue che $RR$ è un intervallo.

Inoltre, si sono aggiunti due dubbi

1) $RR$ è un intervallo aperto illimitato
2) $RR$ è unione di tutti i suoi intervalli aperti

Per quanto concerne il punto 1) devo verificare che

- $RR$ è un intervallo: questo è stato già verificato
- aperto: $\forall x \in RR$, esistono $a,b \in RR$ per cui $x \in (a,b) \subseteq RR$, quindi $RR$ è aperto
- illimitatezza: per ogni $M \in RR_+$ esiste sempre $x in RR \ : \ |x|>M$

Per quanto concerne il punto 2) devo verificare che \[\mathbb{R}=\bigcup_{i \in I}A_i\]

Quando si dice $RR$ è unione di tutti i suoi intervalli aperti, significa dire che unione infinita di intervalli aperti.
Tale affermazione non mi è chiara perché

$RR=\{x \in RR \ : xa\}$, $\epsilon >0, a \in RR$

i due insieme a destra sono intervalli secondo la definizione di sopra e sono aperti.
Quindi, dove sbaglio?

[Martino]

"compa90":- aperto: $\forall x \in RR$, esistono $a,b \in RR$ per cui $x \in (a,b) \subseteq RR$, quindi $RR$ è aperto

Questo lo stai affermando senza dimostrazione. Dovresti dire chi sono $a$ e $b$.

- illimitatezza: per ogni $M \in RR_+$ esiste sempre $x in RR \ : \ |x|>M$

Stesso problema di sopra: devi dire chi è $x$.

Quando si dice $RR$ è unione di tutti i suoi intervalli aperti, significa dire che unione infinita di intervalli aperti.

Questa frase è strana: è vero che $RR$ è unione infinita di intervalli aperti, ma è anche unione finita di intervalli aperti. Per esempio $RR$ è uguale a se stesso, che è un intervallo aperto, quindi è una unione di 1 intervallo aperto. Ma anche di 2 intervalli aperti, basta prendere $(-1,+oo)$ e $(-oo,1)$, la loro unione è $RR$.

$RR=\{x \in RR \ : xa\}$, $\epsilon >0, a \in RR$

i due insieme a destra sono intervalli secondo la definizione di sopra e sono aperti.

E quindi? Il fatto che $RR$ è unione infinita di intervalli aperti non implica che non sia unione finita di intervalli aperti.

[Lebesgue]

- aperto: $\forall x \in RR$, esistono $a,b \in RR$ per cui $x \in (a,b) \subseteq RR$, quindi $RR$ è aperto

Dimostrazione: devo dimostrare che, preso un qualsiasi $x \in RR$, trovo $a Chi posso prendere come $a$ e $b$?
Ad esempio, posso prendere $a = x -1 $ e $b = x+1$; infatti $x \in (x-1,x+1) \subseteq RR$.
Fine dimostrazione.

- illimitatezza: per ogni $M \in RR_+$ esiste sempre $x in RR \ : \ |x|>M$

Dimostrazione: dato $M \in RR^+ = {r \in RR : r > 0}$, cerco $x \in RR$ tale che $|x| > M$.
Chi posso prendere come $x$?
Ad esempio, posso prendere $x = M+1$, infatti, essendo $M>0$, allora $M+1>0$, dunque:

$|x| = |M+1| = M+1 > M$

fine dimostrazione.

(così hai solo dimostrato che $RR$ è illimitato superiormente, per dimostrare che è anche illimitato inferiormente, devi anche dimostrare che, preso $M > 0$, trovo $x \in RR$ tale che $x < -M$)

[compa90]

@Lebesgue prendo $x=-M-1$.

@Martino mi ritrovo su quello che dici, rimane in sospeso che $RR$ è unione di tutti i suoi intervalli aperti, cioè che vale \[\mathbb{R}=\bigcup_{i \in I} A_i\]
Ora affinché la precedente relazione abbia senso, penso che, occorre specificare a priori se l'insieme $I$ sia finito o infinito, e da lì scegliere in modo appropriato gli $A_i$, esempio, se considerassi $I$ finito di ordine 2, $I=\{i_1,i_2\}$ allora questa scrittura ha senso \[\mathbb{R}=(-∞ , -2)\cup (-3,+∞ )\] invece, questa no \[\mathbb{R}=(-∞ , -2)\cup (-2,+∞ )\] giusto?

[megas_archon]

"compa90":@Lebesgue prendo $x=-M-1$.

@Martino mi ritrovo su quello che dici, rimane in sospeso che $RR$ è unione di tutti i suoi intervalli aperti, cioè che vale \[\mathbb{R}=\bigcup_{i \in I} A_i\]
Ora affinché la precedente relazione abbia senso, penso che, occorre specificare a priori se l'insieme $I$ sia finito o infinito, e da lì scegliere in modo appropriato gli $A_i$, esempio, se considerassi $I$ finito di ordine 2, $I=\{i_1,i_2\}$ allora questa scrittura ha senso \[\mathbb{R}=(-∞ , -2)\cup (-3,+∞ )\] invece, questa no \[\mathbb{R}=(-∞ , -2)\cup (-2,+∞ )\] giusto?

E' evidente non ti è chiaro cosa va dimostrato. Perciò, chiediti: cosa va dimostrato? Risposta: la parte evidenziata.
E come si fa? Mostrando che \(\mathbb R \subseteq \bigcup \{U\mid U\subseteq \mathbb R, \text{ aperto}\}\) (l'altra inclusione è ovvia). Tuttavia anche questo è del tutto ovvio: \(\mathbb R\) è un elemento di \(\{U\mid U\subseteq \mathbb R, \text{ aperto}\}\)!

[compa90]

Si

[Martino]

"compa90":@Martino mi ritrovo su quello che dici, rimane in sospeso che $RR$ è unione di tutti i suoi intervalli aperti, cioè che vale \[\mathbb{R}=\bigcup_{i \in I} A_i\]
Ora affinché la precedente relazione abbia senso, [...]

Ti faccio una critica di metodo: in matematica il significato di una formula non lo puoi "dedurre" dopo averla scritta. Quando scrivi una formula dev'essere chiarissimo chi sono gli elementi coinvolti.

Quando scrivi $RR=bigcup_(i in I)A_i$ cosa è $I$? Chi sono gli $A_i$? Non lo hai detto.

È come se io dicessi "Il crappo ha sfappato il donco". Cosa vuol dire? Finché non spiego cosa sono il crappo, il donco e cosa vuol dire "sfappare", la mia frase non significa assolutamente niente. Stessa cosa nel tuo caso: la tua formula non significa niente finché non spieghi cosa sono $I$ e gli $A_i$. Ci siamo?

[compa90]

@Martino partiamo da questa affermazione: L'insieme dei numeri reali $RR$ è unione di tutti i suoi intervalli aperti.

Premesse:
1. Topologia euclidea, pertanto gli intervalli aperti in $RR$ sono $\emptyset, (a,b), \mathbb{R}$

2. $I$ insieme degli indici che ci permette di elencare gli elementi della famiglia, il quale può essere finito o infinito

Ora a secondo di come sia $I$ devo scegliere gli intervalli aperti.

Questa è la strada giusta ?

[Martino]

Non devi scegliere niente. Gli $A_i$ sono tutti e soli gli intervalli aperti di $RR$.

[compa90]

Ma io non sto dicendo che gli $A_i$ non devono essere aperti, invece, sto dicendo che una volta specificato chi sia $I$ devo specificare chi sono gli $A_i$ che sempre aperti devono essere, infatti, nell'esempio fatto da me nel messaggio precedente, in entrambi i casi ho unione finita di intervalli aperti di $RR$ rispetto alla topologia euclidea, ma solo uno mi restituisce $RR$. Dove sbaglio ?

[Martino]

Non si capisce di cosa stai parlando. Vuoi dimostrare che $RR$ è l'unione dei suoi intervalli aperti?

Se sì, come lo scrivi in formule?

Lo scrivi $RR = bigcup_(i in I) A_i$ ?

Allora gli $A_i$ sono esattamente gli intervalli aperti di $RR$.

Continuo a ripeterti che lo devi dire tu a noi chi sono gli $A_i$. Non lo puoi "dedurre" e non te lo possiamo dire noi (quello che ho scritto nel paragrafo precedente è la mia interpretazione di quello che scrivi, il che potrebbe non corrispondere a quello a cui stai pensando).

Chi sono gli $A_i$ lo devi dire tu.

[compa90]

Quando dici che devo dire io chi sono gli $A_i$, oltre ad essere aperti, devo specificare come sono fatti ?

[Martino]

Il fatto che ti chiedi come "specificare come sono fatti" gli $A_i$ mi suggerisce che non ti sia chiaro che cosa stai cercando di dimostrare.

Scrivi esattamente che cosa vuoi dimostrare, in modo inequivocabile.

Forse ho capito il problema.

Considera le frasi seguenti.

1. $RR$ è unione dei suoi intervalli aperti.

2. Esiste una famiglia di intervalli aperti di $RR$ la cui unione è $RR$.

3. Per ogni famiglia $F$ di intervalli aperti di $RR$, l'unione degli intervalli in $F$ è uguale a $RR$.

Quali sono vere? Quali sono false? Perché? Pensaci.

[compa90]

Devo dimostrare che $RR$ è unione di tutti i suoi intervalli aperti, cioè, che l'unione qualsiasi, finita o infinita, di intervalli aperti mi restituisce $RR$, per cui, devo distinguere dall'unione finita, da quella infinita; se è finita, cioè se l'unione è formata da un numero finito di intervalli aperti $RR=A_1\cupA_2\cup...\cupA_n, \ n \in NN$, (qui entra l'errore) gli $A_i$ non possono essere intervalli aperti generici, perché ad esempio se per ogni $i$ prendessi $A_i=(p,p+1), \ p=5$, allora l'unione generata non mi restituisce $RR$. Per questo motivo sto dicendo che devo specificare gli estremi degli $A_i$ in maniera opportuna.

1. E' vera perché essendo $RR$ un intervallo aperto, quindi, $RR$ può essere visto come unione di un solo intervallo che è $RR$ stesso.
2. E' vera perché se considero la famiglia $bigcup\{A \ : \ A=(a,b) \ a,b \in RR \ a le 0 3. E' falsa perché se considero la famiglia finita, formata dagli $A_1=(-1,1), A_2=(-2,2),...,A_n(-n,n)$ con $n \in NN$ la loro unione non mi restituisce $RR$.