$RR$ è un intervallo

[compa90]

Buonasera. Ho un dubbio sul fatto che $RR$ è un intervallo aperto.
Gli intervalli aperti di $RR$ sono $\{x \in RR \ : \ a
Dire che $RR$ è un intervallo aperto, dovrebbe significare che $RR=(a,b)$, per $a,b \in RR$.

Mi chiedo comunque io scelgo $a,b$ una "fetta" di reali non sarà conteggiata, allora l'uguaglianza di sopra non è verificata. Come posso provare che $RR$ è un intervallo aperto.

[megas_archon]

"compa90":Devo dimostrare che $RR$ è unione di tutti i suoi intervalli aperti, cioè, che l'unione qualsiasi, finita o infinita, di intervalli aperti mi restituisce $RR$, per cui, devo distinguere dall'unione finita, da quella infinita.

No, vedi? Il problema è qui: questo non è per niente quello che devi dimostrare (uno dei motivi per cui non è quello che devi dimostrare è che è falso: \(\bigcup\varnothing\) non restituisce \(\mathbb R\) nemmeno piangendo in greco). Devi invece dimostrare questo: ogni numero reale $x$ è contenuto in un intervallo aperto $U_x$. Questa, come vedi, è una assoluta lapalissiama ovvietà, ed è esattamente tutto quanto serve per dimostrare che \(\mathbb R = \bigcup_{U\subseteq \mathbb R} U\).

[Martino]

Concordo con megas_archon, e aggiungo

"compa90":Devo dimostrare che $RR$ è unione di tutti i suoi intervalli aperti, cioè, che l'unione qualsiasi, finita o infinita, di intervalli aperti mi restituisce $RR$

Assolutamente no (mi riferisco alla parte sottolineata): non devi mostrare che l'unione qualsiasi di intervalli aperti restitusce $RR$. Devi mostrare che l'unione di tutti gli intervalli aperti restituisce $RR$ (tutti, non solo alcuni).

E osserva che qui hai risposto giusto:

"compa90":[quote="Martino"]1. $RR$ è unione dei suoi intervalli aperti.

1. E' vera perché essendo $RR$ un intervallo aperto, quindi, $RR$ può essere visto come unione di un solo intervallo che è $RR$ stesso.[/quote]
Hai dimostrato che $RR$ è l'unione dei suoi intervalli aperti. Fine. Quindi, di cosa stiamo parlando? Continuo a non capirlo.

[gabriella127]

"compa90":Ciao a tutti. La definizione che ho trovato di intervallo sul testo di Analisi matematica uno di De Marco Giuseppe, è la seguente
Definizione: $I \subseteq \mathbb{R} $ si dice intervallo di $RR$ se è connesso rispetto alla relazione d'ordine, cioè se $a,b \in RR$, e per ogni $x \in RR \ :\ a\le x\le b$ allora$x \in RR$. Da questo segue che $RR$ è un intervallo.

"Franc71":Puoi pensare a questa definizione di intervallo: un insieme $I \subseteq R $ è un intervallo se dati comunque due punti (o elementi o numeri reali) $a, b \in I$ con, ad esempio, $a In simboli $I \subseteq R$ intervallo se e solo se $[a ; b] \subseteq I$ $\forall a, b \in I$ con $a Con questa definizione di intervallo, l'intero insieme $R$ è banalmente tale.

Scusate se mi intrometto, nella definizione di intervallo e nella discussione su perché $\mathbb{R}$ è un intervallo c'era qualcosa che non mi quadrava.
Poiché ho il libro di De Marco, sono andata a vedere la definizione di intervallo, non è quella data sopra da compa90, c' è una svista (o compa90 ha un'altra edizione con un errore di stampa).

Nel testo di De Marco si dice convesso, non connesso (inoltre non è "allora $x\in \mathbb{R}$", ma "allora $x\in I$"). Riporto da De Marco:

Definizione. Diremo intervallo di $\mathbb{R}$ un sottoinsieme $I$ di $\mathbb{R}$ che sia convesso rispetto all'ordine, cioè che soddisfi la seguente condizione: se $a,b \in I$ e $a<=b$, ogni $x\in \mathbb{R}$ tale che $a<=x<=b$ appartiene a $I$ (in breve: $I$ è un intervallo di $\mathbb{R}$ se contenendo due numeri reali contiene anche tutti i numeri reali che stanno fra questi due).

Da cui discende immediatamente che $\mathbb{R}$ è un intervallo, come faceva notare Franc71 riportando una analoga definizione.

[gugo82]

"compa90":Devo dimostrare che $RR$ è unione di tutti i suoi intervalli aperti, cioè, che l'unione qualsiasi, finita o infinita, di intervalli aperti mi restituisce $RR$ […]

Come dicevano già altri, non è questo che vuoi far vedere.

Vuoi far vedere che:

:arrow: esiste (almeno) una famiglia di intervalli limitati aperti $\{A_i\}_{i \in I}$ tali che $RR = \bigcup_{i in I} A_i$.

Quella che vuoi ottenere è una dimostrazione di esistenza.
Questo si può fare in un modo semplice: esibire (cioè costruire, calcolare, scrivere, o qualunque sinonimo tu voglia usare) esplicitamente una famiglia di intervalli la cui unione è tutto $RR$.

Una persona di buon senso che vuole costruire qualcosa si chiede innanzitutto come deve esser fatto quello che vuole costruire, ed è quello che devi cominciare a fare tu.

Innanzitutto, quali “pezzi” ti servono per questa costruzione?
Questo è facile da stabilire, perché è scritto esplicitamente in : ti servono intervalli $A_i$ tutti aperti e limitati, cioè robe tipo $A_i = ]a_i, b_i[$ con $a_i <= b_i in RR$.

Quanti “pezzi” ti servono?
Qui devi riflettere: possono servire un numero finito di intervalli aperti limitati per costruire tutto $RR$? O te ne servono infiniti?
E perché?

Come devi scegliere i “pezzi”?
Puoi lasciare “buchi” tra un intervallo ed un altro? O devi evitarlo? E se lo devi evitare, come fai?

Prova un po’ a ragionare su questo.


@gabriella127: Con tutto il rispetto per il De Marco, la connessione è quello che serve.
La convessità coincide con la connessione solo in dimensione 1 e perciò è deleterio confondere i due concetti.

[gabriella127]

"gugo82":
@gabriella127: Con tutto il rispetto per il De Marco, la connessione è quello che serve.
La convessità coincide con la connessione solo in dimensione 1 e perciò è deleterio confondere i due concetti.

Serve a fare cosa? Dove sta la confusione? Io ho solo corretto una svista di compa90 nel riportare la definizione di De Marco di intervallo, stiamo parlando della definizione di intervallo (nel contesto del dubbio della prima parte del thread, come da titolo: $RR$ è un intervallo? Non c'entra con la questione di dimostrare che $RR$ è l'unione etc. etc., quella è una questione successiva nel thread.)

compa90 aveva scritto:

"compa90":Ciao a tutti. La definizione che ho trovato di intervallo sul testo di Analisi matematica uno di De Marco Giuseppe, è la seguente
Definizione: $I \subseteq \mathbb{R} $ si dice intervallo di $RR$ se è connesso rispetto alla relazione d'ordine, cioè se $a,b \in RR$, e per ogni $x \in RR \ :\ a\le x\le b$ allora$x \in RR$. Da questo segue che $RR$ è un intervallo.

Lì non è connesso è convesso, così è in De Marco, almeno nella edizione che ho io, la seconda (potrebbe anche essere un errore di stampa della prima edizione).
Altrimenti cosa significa essere connesso 'rispetto alla relazione d'ordine'? Si parla normalmente di 'insiemi connessi rispetto a una relazione d'ordine'?
Per me la connessione è una nozione topologica. La nozione di connessione rispetto a una relazione d'ordine non la conosco, né l'ho trovata. Invece la nozione di convessità rispetto a una relazione d'ordine esiste.
Non capisco cosa ci sia di confusione nella definizione di De Marco con la convessità.

[gugo82]

Calma.

"gabriella127":Non capisco cosa ci sia di confusione nella definizione di De Marco con la convessità.

Il fatto che tu non lo capisca va bene, ma io lo capisco e te l'ho spiegato: rileggi quello che ho scritto.
Ti conforti il fatto che non cercavo polemiche con te che correggevi un misprint di OP; piuttosto, criticavo la scelta di De Marco di mischiare i due concetti (connessione e convessità) inutilmente.

[gabriella127]

Boh, gugo, continuo a non capire che ci sia di strano o confuso in quella definizione, De Marco scrive convesso, stop. Ho letto quello che scrivi, ma mi pare che tu stai confondendo discorsi diversi.
Il discorso che fate dopo, su $RR$ come unione etc. , non c'entra niente. Se per quest'ultimo discorso è importante la connessione, non c'entra niente, stai mischiando discorsi diversi nel thread, forse non hai letto il thread dall'inizio.
Quella che ho scritto è la definizione di intervallo data all'inizio del libro di De Marco, punto.

"gugo82":
[quote="gabriella127"]Non capisco cosa ci sia di confusione nella definizione di De Marco con la convessità.

Il fatto che tu non lo capisca va bene, ma io lo capisco e te l'ho spiegato: rileggi quello che ho scritto.
Ti conforti il fatto che non cercavo polemiche con te che correggevi un misprint di OP; piuttosto, criticavo la scelta di De Marco di mischiare i due concetti (connessione e convessità) inutilmente.[/quote]
Io ho capito benissimo, e non ho bisogno di rileggere niente. Sei tu che fai confusione, e non segui il discorso, forse perché hai letto frettolosamente i post. Sarebbe più normale e cortese ammetterlo invece di stare a fare discussioni inutili, e dire che non capisco, per una volta sei tu che non capisci, e non hai spiegato niente.

Ma dove lo vedi che li mischia? La connessione non è mai stata menzionata da De Marco, era un refuso.
Su questa definizione di De Marco non hai spiegato niente, non hai spiegato perché perché non va bene la convessità, dove è la confusione. La definizione di intervallo in genere fa uso della relazione d'ordine. È la definizione consueta. Bisogna cambiarla in tutti i libri di analisi?
Strano, mi sembra, sarebbe usare connesso nella definizione di intervallo come la dà De Marco, dato che trovo strana la nozione di connessione rispetto a una relazione d'ordine.. È usuale? Boh.
Come lo definisci un intervallo? Bisogna definirlo con la connessione? Rispetto a una relazione d'ordine ? Cioè? O usi la consueta nozione topologica di connessione? Boh.
Vabbe', ciao, buonanotte e sogni d'oro.

p.s.

"gugo82":
[quote="gabriella127"]Non capisco cosa ci sia di confusione nella definizione di De Marco con la convessità.

Il fatto che tu non lo capisca va bene, ma io lo capisco e te l'ho spiegato: rileggi quello che ho scritto.
[/quote]
Esprimersi così è da maleducati. Non si fa nemmeno con il bambino dellle elementari.

[otta96]

Io trovo inappropriato rifarsi sia alla connessione sia alla convessità per dare la definizione di intervallo, sono 3 concetti in lina di principio completamente diversi che solo per le proprietà particolari di $RR$ sono equivalenti per i suoi sottoinsiemi.

[gabriella127]

Guarda otta, nota però che nella definizione di De Marco si parla di convessità non nel senso consueto geometrico, di spazio vettoriale, con le operazioni e il $\lambda$ etc., ma di convessità nella teoria degli ordini, rispetto a una relazione d'ordine (c'è scritto esplicitamente nella definizione).
Di questo tipo di convessità rispetto all'ordine si può parlare evidentemente solo in $RR$ o comunque in un insieme ordinato, non se ne può parlare ad esempio in $RR^2$ che non è ordinato, mentre in $RR^2$ si parla di convessità in senso usuale, geometrico, con i $\lambda$.

In questo modo, con la sua definizione di intervallo, De Marco definisce in un solo colpo tutti i tipi di intervallo, aperto, chiuso, limitato, illimitato, invece di fare la casistica, ma è sempre una definizione basata sulla relazione d'ordine. Non è diverso diverso dal dire: dati due punti $a$ e $b$, $aestremi, un intervallo (aperto) è l'insieme di tutti gli $x$ tali che la $a La convessità in senso geometrico, il segmento che unisce parapà parapà, non c'entra niente.

In sintesi, sono d'accordo con te che si tratta di tre concetti di natura diversa: la definizione di intervallo riguarda la relazione d'ordine, la convessità in senso geometrico la struttura di $RR$ come spazio vettoriale, la connessione è una proprietà topologica.
Ipse dixit

[otta96]

Si ma il punto è che non esiste una definizione di convessità negli insiemi ordinati, quella che dà è appunto la definizione di intervallo per un insieme ordinato.

[gabriella127]

Sì sì, invece esiste una definizione di convessità in teoria degli ordini, è la prima cosa che mi sono chiesta e ho cercato di appurare. In effetti non è pane quotidiano, ma l'ho trovata definita in un libro di teoria degli ordini: Davey, Introduction to Lattices and Orders. Ed è quella che definisce e usa De Marco, uguale.

[megas_archon]

"gabriella127":Sì sì, invece esiste una definizione di convessità in teoria degli ordini, è la prima cosa che mi sono chiesta e ho cercato di appurare. In effetti non è pane quotidiano, ma l'ho trovata definita in un libro di teoria degli ordini: Davey, Introduction to Lattices and Orders. Ed è quella che definisce e usa De Marco, uguale.

Cf. anche [url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Convex_Set_(Order_Theory)]proofwiki[/url].

[gabriella127]

Ah, grazie mille.

[otta96]

Non lo sapevo che fosse accettata da qualcuno, ma di solito quella è la definizione di intervallo.