Rotore di campo vettoriale

[Webster]

Sto incontrando difficoltà a svolgere il seguente esercizio:"Determinare le funzioni $f(x,z)$,tali che il rotore del campo vettoriale $ul(F)=yz ul(e1)+f(x,z) ul(e2)+xy ul(e3)$ coincida con il vettore $ul(e3)-ul(e1)$".Io ho svolto la seguente procedura:$rot ul(F)=| ( ul(e1) , ul(e2) , ul(e3) ),( del/(del x) , del/(del y) , del/(del z) ),( yz , f(x,z) , xy ) |=(x-del f(x,z)/(del z)) ul(e1)+(del f(x,z)/(del x) -z) ul(e3)$ e ho così costruito il sistema ${ ( x-del f(x z)/(del z)=-1 ),( del f(x z)/(del x) -z=1 ):}$.Tramite integrazione o ottenuto ${ ( f(x z)=xz+z+c1 ),( f(x z)=xz+x+c2 ):}$.Come posso procedere adesso?

[orazioster]

Considera che
le "costanti" di integrazione sono costanti "parziali" : ovvero
possono essere funzioni di una variabile, ma non dell'altra.

Pensando ciò, il tuo sistema ti dà immediata soluzione.

[Gi81]

$rot ul(F)=| ( e_1 , e_2 , e_3 ),( del/(del x) , del/(del y) , del/(del z)),(yz,f,xy )|= e_1(-1)+e_3(1)=>{\( (delf)/(delz)=x+1 ),( (delf)/(delx)=z+1 ):}$ $=> {\( f=z(x+1)+g(x) ),(f=x(z+1)+h(y)):}$
Dunque deve essere $zx+z+g(x)=xz+x+h(y)$, con
$g(x)$ funzione che dipende solo da $x$, e $h(y)$ funzione che dipende solo da $y$
Quanto varranno $g(x)$ e $h(y)$?

N.B. Quando scrivo $f$ intendo $f(x,z)$ (non so perchè ma se scrivo $f(x,z)$ mi dà dei problemi in MathML)

[Webster]

$f(x,z)=xz+x+z+c$ Grazie!