Rolle in $RR^n$

[anto_zoolander]

Ieri notte prima di dormire mi venne in mente questa cosa

sia $f:Omega->RR$ una funzione con $Omega$ compatto, $f$ derivabile in $i n t(Omega)$ e continua in $Omega$

$exists kin RR: f(x)=k,forallx in partialOmega => exists c in i n t (Omega): nablaf(c)=vec(0)$

la dimostrazione è sostanzialmente identica in quanto:
Per continuità in un compatto esistono massimo e minimo assoluto per Weirstrass.
Se $M=m$ la funzione è costante e abbiamo finito.
Se $M>m$ ed entrambi i punti di max/min cadono sul bordo allora $M=m$ assurdo
quindi almeno uno dei due deve essere interno ad $Omega$ e per Fermat tutte le derivate parziali devono essere nulle in quel punto.

sostanzialmente si usano la compattezza e il fatto che $i n t(Omega)cup partialOmega=overline(Omega)$ sia un'unione disgiunta.

Ma non lo trovo da nessuna parte... ho pensato che fosse 'troppo facile' ma in genere non si può dare per scontato che tutti lo capiscano, quindi perchè non si trova

[dissonance]

Leggiti, se vuoi, questa piccola storia di John Baez sulle pseudo-forme differenziali:

https://groups.google.com/forum/#!origi ... y2N3IaajwJ

È un concetto che non si trova mai sui libri di testo. Infatti a un certo punto il personaggio principale chiede supplicando: ""But... but if it's *that* simple, why don't my textbooks talk about it?""

Tu mi ricordi quel personaggio

[anto_zoolander]

E' parecchio divertente
tra l'altro cade anche a pennello

Mi riterrò sempre un dilettante, penso.

[dissonance]

Quella storia è stata importante per me, ogni tanto me la rileggo. Mi piace molto la reazione del mago quando Eric gli chiede delle referenze!

[otta96]

In realtà si trova anche, io mi ricordo che lo avevo visto nel libro di analisi 2 del Prodi, sotto forma di esercizio ed enunciato in modo un po' diverso, che per lo meno rende l'enunciato vero:

Dato $\Omega\subRR^n$ aperto non vuoto limitato (credo chiedesse anche connesso, ma non ne sono sicuro), sia $f:\bar{\Omega}->RR$ continua e differenziabile su $\Omega$ tale che $AAx\in\partial\Omega$ si ha $f(x)=0$, allora $EEc\in\Omega$ t.c. $\gradf(c)=vec0$.

[anto_zoolander]

Perché quello che ho scritto non è vero?
Chiedere la differenziabilità è troppo secondo me, la derivabilità basta e avanza.
Inoltre su $RR^n$ chiedendo che $overline(Omega)$ sia chiuso e limitato equivale al dire che sia compatto, quindi non trovo differenze

Spero non intendessi questo perché mi offendo

[otta96]

A pensarci meglio, la derivabilità è sufficiente, come dici giustamente, ma una differenza sostanziale da quello che hai detto te c'è, riesci a trovarla?

[anto_zoolander]

Che sia non vuoto?
È l’unica cosa che ammazzerebbe quello che ho scritto nel caso in cui si verificasse

[otta96]

Esatto, era a quello che mi riferivo.

[anto_zoolander]

Perfetto, allora sono contento