Rolle

[devi019]

un altro esercizio diceva "determinare il valore dei parametri a,b,c tali che siano soddisfatte le ipotesi del teorema di rolle per la funzione
f(x)= ax^2+1, [-1,0]
bx+c, (0,1]

a me sono venuti a e b=0 invece c=1

per voi è giusto??

[eugenio.amitrano]

Per il teorema di Rolle riesco a fare queste 2 posizioni:

1) a+1 = b+c per Hp di Rolle
2) c = 1 per continuita'

da cui ricavo che a = b.

Per curiosita', come hai fatto a ricavare $a=b=0$ ?

[cozzataddeo]

@eugenio
Per la derivabilità in $x=0$

3) $b=0$

Quindi in effetti $a=b=0$. La funzione è costantemente uguale a $1$ su tutto l'intervallo di definizione.

@devi019
Il tuo svolgimento è corretto!

[devi019]

ho calcolato la f(-1)= a+1
-b+c
invece f(1)=a+1
b+c

quindi ho pensato che l unico modo per farle coicidere era con b=0

sinceramente nn ho trovato mai un esercizio così quindi ho provato a risolverlo un pò così...

[eugenio.amitrano]

ok....ho capito !!!!

[cozzataddeo]

@devi019
...io non ho capito il tuo ragionamento...

[devi019]

sinceramente neanch io...ho sparato un pò..

[devi019]

ah scusa nn avevo mica capito.....quindi corretto????

[devi019]

ehi quindi è corretto che c=1 e a=b=0????

io in pratica ho calcolato che si aveva derivabilità per b=2ax
poi ho calcolato la funzione agli estremi -1 e 1...e ne ho ricavato che b doveva essere =0...da qui anche a=0

me lo sono inventata o c'è un fondo di verità??

[cozzataddeo]

"devi019":
io in pratica ho calcolato che si aveva derivabilità per b=2ax

Esatto.

"devi019":
poi ho calcolato la funzione agli estremi -1 e 1...e ne ho ricavato che b doveva essere =0...da qui anche a=0

È qui che non capisco. La tua funzione è

$f(x)={(ax^2+1 \quad -1<=x<=0), (bx+c \quad\quad 0
Imponendo l'uguaglianza agli estremi $f(-1)=f(1)$ risulta quanto indicato da Eugenio nel punto 1)

1) $a+1=b+c$

Imponendo poi la continuità in $x=0$ ovvero $f(0^-)=f(0^+)$ (altrove è già garantita) si ha quanto indicato ancora da Eugenio nel punto 2)

2) $c=1$

Da queste due condizioni si ha $c=1$ e $a=b$.
Dalla condizione di derivabiltà risulta $b=0$ e quindi $a=0$.

"devi019":
ho calcolato la f(-1)= a+1
-b+c
invece f(1)=a+1
b+c
quindi ho pensato che l unico modo per farle coicidere era con b=0

Non ho capito questo tuo ragionamento...

[devi019]

boh nn è molto ragionata cm cosa...cmq i risultati vengono gli stessi...spero che il prof mi consideri qualcosina di giusto dell'esercizio....

[cozzataddeo]

Voglio dire che non ho capito che calcoli hai materialmente fatto in quel punto per arrivare a concludere che è $a=b=0$.

A parte questo, hai capito ora qual'è lo svolgimento corretto?

[devi019]

si si ora ho capito grazie...cmq in pratica dopo aver trovato c=1 ho trovato la condizione di derivabilità per b=2ax tramite le derivate; dopo ho visto ch per avere f(-1)=f(1) b doveva essere=0; poi sostituendo b=0 nella condizione di derivabilità mi è venuta anche a=0...

sono fantasiosa eh??!

[ottusangolo]

Ciao,direi proprio di sì, complimenti!
Però cerca di non esagerare! Porre f(-1)=a+1=-b+c=f(-1) e f(1)=a+1=b+c=f(1) da cui b=0 è davvero troppo fantasioso! Inoltre credo che tu abbia un tantino esagerato anche sulla condizione di derivabilità. La condizione, giustamente trovata, 2ax=b, vale infatti solo nel punto x=0 e quindi a rigore non è lecito ragionare ad es. nel modo seguente:
Dato che per la continuità in 0 è c=1 (o.k.) e per la derivabilità è b=2ax (no) allora dovendo anche essere f(1)=f(-1) si ha a(1)^2 +1 =2a(-1)^2 +1 da cui a=0 :

[devi019]

tentar non nuoce....meglio che lasciare in bianco non trovi?!