Ritratto di fase

[mobley]

Studia il sistema lineare omogeneo bidimensionale $ bar(y)'(x)=( ( -2 , 2 ),( -5 , 4 ) ) bar(y)(x) $ , studia la stabilità dell'origine e disegna il ritratto di fase. E' il primo esercizio di questo genere che mi trovo davanti, qualcuno può darmi qualche indizio su come partire?

[gugo82]

Il libro di riferimento che dice?

[mobley]

Sul libro che sto usando (Marcellini-Sbordone prima ed. 1991) non dice nulla a riguardo

[feddy]

Ciao,

abbiamo di fronte un sistema lineare del tipo $x'=Ax$, con $A$ matrice quadrata di dimensione 2. La natura dell'origine dipende dal segno degli autovalori, che nel tuo caso sono gli zeri del polinomio (in $\lambda$): $\lambda^2 - Tr(A) + det(A)$, cioè $\lambda_1=1+i,\lambda_2=1-i$, complessi coniugati. La parte reale è strettamente positiva, perciò si tratta di un fuoco instabile.

Per disegnare il ritratto di fase in questo caso è sufficiente riscrivere il sistema $ { ( x'=-2x+2y ),( y'=-5x+4y ):} $ (volendo si può ricavare esplicitamente $x', y'$ ma non penso che sia questo il significato dell'esercizio.

Devi sostanzialmente capire in che regione $x' >0$ (simmetricamente $x'<0$). E la stessa cosa per $y'$.

Una volta determinati segni per $x',y'$ in ciascuna regione, per disegnare il ritratto di fase segui il seguente schema:





Dopo aver implementato con Matlab il generico problema planare, ecco il ritratto di fase e la traiettoria del tuo problema lineare:

[mobley]

grazie!