Risultato serie
Non riesco a calcolare la seguente serie: $\sum_(k=0)^\infty 1/(2k+1)^2$
non sembra scomponibile in due fratti semplici e non mi sembra nemmeno che una serie di Taylor possa agevolarmi il compito...
qualche suggerimento?
non sembra scomponibile in due fratti semplici e non mi sembra nemmeno che una serie di Taylor possa agevolarmi il compito...
qualche suggerimento?
Risposte
"kaimano":
Non riesco a calcolare la seguente serie: $\sum_(k=0)^\infty 1/(2k+1)^2$
non sembra scomponibile in due fratti semplici e non mi sembra nemmeno che una serie di Taylor possa agevolarmi il compito...
qualche suggerimento?
Se devi solo determinare se converge o no puoi dire che
$(2k+1)^2>k^2$ e quindi $1/(2k+1)^2<1/k^2$ e quindi la serie converge
devo calcolarlo....
La somma è [tex]$\frac{\pi^2}{8}$[/tex]... Ma al momento non mi viene nessun modo immediato per ricavarla da lì.
Probabilmente è una scemenza, però ho questa idea.
Invece di tentare con metodi e metodi, ho fatto questo ragionamento.
Il problema è calcolare la somma dei quadrati dei reciproci dei numeri dispari: questa somma l'ho pensata come la differenza tra i reciproci dei quadrati dei naturali a cui sono sottratti i reciproci dei quadrati dei pari...
$\sum \frac{1}{(2k+1)^2} = \sum\frac{1}{k^2} - \sum\frac{1}{(2k)^2} = \sum\frac{1}{k^2} - \sum\frac{1}{4k^2} = \sum\frac{1}{k^2} - \frac{1}{4}\sum\frac{1}{k^2}
Invece di tentare con metodi e metodi, ho fatto questo ragionamento.
Il problema è calcolare la somma dei quadrati dei reciproci dei numeri dispari: questa somma l'ho pensata come la differenza tra i reciproci dei quadrati dei naturali a cui sono sottratti i reciproci dei quadrati dei pari...
$\sum \frac{1}{(2k+1)^2} = \sum\frac{1}{k^2} - \sum\frac{1}{(2k)^2} = \sum\frac{1}{k^2} - \sum\frac{1}{4k^2} = \sum\frac{1}{k^2} - \frac{1}{4}\sum\frac{1}{k^2}
Mi sa che ci hai azzeccato. Vedi l'intervento di MaMo qui:
https://www.matematicamente.it/forum/una ... 40617.html
https://www.matematicamente.it/forum/una ... 40617.html
Non l'avevo visto, in genere uso la funzione "cerca" in alto a destra solo prima di postare per evitare ripetizioni...
Va bene, allora se lo ha scritto anche qualcun'altro in passato, aumentano le probabilità che sia la risposta giusta!
Va bene, allora se lo ha scritto anche qualcun'altro in passato, aumentano le probabilità che sia la risposta giusta!
Mmmm... Però non ricordo mai come si fa a stabilire che [tex]$\sum_n \frac{1}{n^2} =\frac{\pi^2}{6}$[/tex].
C'entrano sempre gli sviluppi in serie di Fourier, o la cosa si può ricavare dalle serie di Taylor note?
Aiutatemi a ricordare, che l'età avanza...
C'entrano sempre gli sviluppi in serie di Fourier, o la cosa si può ricavare dalle serie di Taylor note?
Aiutatemi a ricordare, che l'età avanza...
"gugo82":
Mmmm... Però non ricordo mai come si fa a stabilire che [tex]$\sum_n \frac{1}{n^2} =\frac{\pi^2}{6}$[/tex].
C'entrano sempre gli sviluppi in serie di Fourier, o la cosa si può ricavare dalle serie di Taylor note?
Aiutatemi a ricordare, che l'età avanza...
Se vuoi una dimostrazione assolutamente rigorosa devi usare la serie di Fourier.
Se però ti accontenti di una dimostrazione non proprio rigorosa, ma comunque data da mister Eulero in persona quindi ci si può fidare, puoi fare così (te la dico perchè è carina):
Prendi la funzione sen(x).
La sviluppi con Taylor e hai $sen(x)=x-x^3/6+....$
Poi sai che il seno si annulla in $0,+-\pi,+-2\pi,+-3\pi...$
Ora (ed è qui che viene meno la rigorosità) pensando di poter scomporre il seno in radici come un polinomio possiamo scrivere:
$sen(x)=x(1-x/\pi)(1+x/\pi)(1-x/(2\pi))(1+x/(2\pi))(1-x/(3\pi))(1+x/(3\pi))....=x(1-x^2/\pi^2)(1-x^2/(4\pi^2))(1-x^2/(9\pi^2))...$
Ora i termini di grado 3 in x vengono dalla moltiplicazione di x per uno degli $x^2$
Perciò possiamo scrivere $sen(x)=x-x^3 1/\pi^2(1+1/4+1/9+1/16+...)$
Confrontando quindi questo coefficiente con quello dello sviluppo di Taylor trovo:
$1/\pi^2(1+1/4+1/9+1/16+...)=1/6$ cioè $(1+1/4+1/9+1/16+...)=\pi^2/6$ cioè $\sum_n \frac{1}{n^2} =\frac{\pi^2}{6}$
Nel libro "Proofs from THE BOOK" di Aigner e Ziegler sono riportate tre dimostrazioni "elementari" (nessuna è però immediata).
"Zero87":
Probabilmente è una scemenza, però ho questa idea.
Il problema è calcolare la somma dei quadrati dei reciproci dei numeri dispari: questa somma l'ho pensata come la differenza tra i reciproci dei quadrati dei naturali a cui sono sottratti i reciproci dei quadrati dei pari...
$\sum \frac{1}{(2k+1)^2} = \sum\frac{1}{k^2} - \sum\frac{1}{(2k)^2} = \sum\frac{1}{k^2} - \sum\frac{1}{4k^2} = \sum\frac{1}{k^2} - \frac{1}{4}\sum\frac{1}{k^2}
Eccellente intuizione io ci stavo provando utilizzando l'uguaglianza di parceval ovvero con le serie di Fourier toppando misermente.....
ottima quella dispensa sui residui in particolar modo le ultime 2 paginette..
grazie a tutti per gli interventi
@Misanino: Quella di scrivere il seno come prodotto infinito è una tecnica rigorosa (solo che Eulero non sapeva giustificarla a suo tempo); si chiama fattorizzazione di Weierstrass e si basa sull'omonimo teorema.
Grazie per avermi rinfrescato la memoria.
Grazie per avermi rinfrescato la memoria.
"gugo82":
@Misanino: Quella di scrivere il seno come prodotto infinito è una tecnica rigorosa (solo che Eulero non sapeva giustificarla a suo tempo); si chiama fattorizzazione di Weierstrass e si basa sull'omonimo teorema.
Grazie per avermi rinfrescato la memoria.
Davvero?!
Devo proprio andarmela a vedere, anche perchè in questo modo la dimostrazione, come hai potuto vedere, è praticamente immediata.
Ciao
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