Risultato conseguenza di Gauss-Green

[CallistoBello]

Salve,
dovrei dimostrare che :
data una curva - chiusa -semplice - regolare di equazione polare:
$rho=f(theta), theta in [theta_0,theta_1]$
Se $gamma$ è la frontiera di un dominio piano D , dimostrare che:
$area(D)= 1/2 int_(theta_1)^(theta_2) [f(theta)]^2 dx $

Mio tentativo:
Ho utilizzato la terza formula di gauss-green nel caso del campo $ ul(F) =(-y,x)$
ottenendo che:
$ int int_(D)1 dx dy $ = $1/2 int_(gamma) (-y dx+xdy) = 1/2 int_([theta_0theta1]) (-f(theta),theta)@ (1,f'(theta)) d theta
=1/2 int_([theta_0theta1]) (-f(theta)+thetaf'(theta)) d theta$

[ViciousGoblin]

Non sono d'accordo con il calcolo di $\int_\gamma(-ydx+xdy)$ - oppure non capisco la notazione.
Che formula usi? Come parametrizzi $\gamma$?

[Quinzio]

Forse sto scrivendo delle corbellerie, pero' se
$x = f(\theta) \cos \theta$
$y = f(\theta) \sin \theta$

$dx = -f(\theta) \sin \theta \ d\theta$
$dy = f(\theta) \cos \theta \ d\theta$

$1/2 \int_\gamma (-y\ dx + x\ dy)$

diventa

$1/2 \int_\gamma f^2(\theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) d \theta = $

$1/2 \int_\gamma f^2(\theta) d \theta = $

[ViciousGoblin]

"Quinzio":Forse sto scrivendo delle corbellerie, pero' se
$x = f(\theta) \cos \theta$
$y = f(\theta) \sin \theta$

$dx = -f(\theta) \sin \theta \ d\theta$
$dy = f(\theta) \cos \theta \ d\theta$

$1/2 \int_\gamma (-y\ dx + x\ dy)$

diventa

$1/2 \int_\gamma f^2(\theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) d \theta = $

$1/2 \int_\gamma f^2(\theta) d \theta = $

Appunto - questo è giusto!

[CallistoBello]

\(\displaystyle \)

"ViciousGoblin":Non sono d'accordo con il calcolo di ∫γ(−ydx+xdy) - oppure non capisco la notazione.
Che formula usi? Come parametrizzi γ?

Non ho capito se il dubbio sia su questa formula

"CallistoBello":$∫∫_D1dxdy = 1/2∫_γ(−ydx+xdy)$

oppure sul calcolo che segue.

La Curva l'ho parametrizzata come: $gamma : ulr(theta)=(theta,f(theta))$ con $theta in [theta_0,theta_1]$
perché è una Curva di tipo "grafico di una funzione di 1 variabile"
Per quanto riguarda la formula ,

"CallistoBello":$∫∫_D1dxdy = 1/2∫_γ(−ydx+xdy)$

la si ottiene dalla formula di gauss-green ,
[GAUSS-GREEN]
{i.e. :
$ int int_(D)(Q_x-P_y) dx dy =int_(+partialD) P dx+Qdy $
che possiamo riscrivere come:
$int int_(D) (rotulF) dxdy= int_(+partialD) dL $
con $ulF(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$ e $dL=ulF ∘ dulr$}

semplicemente considerando come $ulF$ il campo: $(-y,x)$


Per quanto riguarda la restante parte dei calcoli, ho applicato la definizione di lavoro
e dunque :
considerata la restrizione $ulF(ulr(theta))=(-f(theta),theta)$
ed il vettore tangente alla curva: $ulr'(theta)=(1,fì(theta))$
si ha che:

$area(D)=∫∫_D1dxdy = 1/2∫_γ(−ydx+xdy)=1/2∫_γ ulF ° dulr$
per Gauss-Green nel caso particolare $ulF=(-y,x)$
e da qui, per la definizione di lavoro, si ha che:
$=1/2 ∫_(theta_0)^(theta_1) ulF(ulr(theta)) ° dulr=1/2∫_(theta_0)^(theta_1) (-f(theta),theta)°(1,f'(theta))d theta=1/2∫_(theta_0)^(theta_1)(-f(theta)+thetaf'(theta)) d theta$

[CallistoBello]

Risolto: avevo sbagliato la parametrizzazione .

Quella corretta è:

"ViciousGoblin":x=f(θ)cosθ
y=f(θ)sinθ

Grazie mille ad entrambi