Rispolverata alle serie numeriche
Devo essermi arrugginito con le serie numeriche.
Sto provando a studiare il carattere di due serie.
La prima è una serie a segni alterni:
$ \sum_{n=1}^infty (-1)^n*n(arctan(n+1)-arctan(n)) $
Mi viene chiesta la convergenza semplice e la convergenza assoluta
Per la convergenza semplice, siccome è a segni alterni (per n grandi arctan(n+1) > arctan(n)) posso usare il criterio di Leibniz ma ho già difficolta nel capire se il termine generale è infinitesimo.
Ho trovato una formula per la differenza di arcotangenti che porterebbe la serie ad essere
$ \sum_{n=1}^infty (-1)^n*n(arctan(1/(n^2+n+1))) $
Con questa si capisce che il termine generale è infinitesimo e adesso si tratta di capire se il termine generale è definitivamente decrescente, che con dei conti veloci sembra esserlo (ma non è questo il punto della domanda).
Mi chiedo e vi chiedo due cose: nella formula della differenza di arcotangenti figura un "misterioso" +pigreco, che non so se aggiungere o meno.
Inoltre, c'è un modo per farla senza applicare questa proprietà?
Per quanto riguarda la convergenza assoluta, proprio sfruttando la proprietà precedente, si riesce facilmente a dire che è divergente grazie al criterio del confronto con la serie armonica 1/n.
Ma se non avessi usato quella proprietà?
Credo inoltre che il fatto che la seconda parte sia il termine generale di una serie telescopica qualcosa vorrà dire.... o no?
La seconda serie è invece $ \sum_{n=2}^infty (log n)^(n^2)/((2n)!) $
Vista la presenza del fattoriale ho provato ad usare il criterio del rapporto ma mi perdo con tutti i logaritmi che rimangono
Sto provando a studiare il carattere di due serie.
La prima è una serie a segni alterni:
$ \sum_{n=1}^infty (-1)^n*n(arctan(n+1)-arctan(n)) $
Mi viene chiesta la convergenza semplice e la convergenza assoluta
Per la convergenza semplice, siccome è a segni alterni (per n grandi arctan(n+1) > arctan(n)) posso usare il criterio di Leibniz ma ho già difficolta nel capire se il termine generale è infinitesimo.
Ho trovato una formula per la differenza di arcotangenti che porterebbe la serie ad essere
$ \sum_{n=1}^infty (-1)^n*n(arctan(1/(n^2+n+1))) $
Con questa si capisce che il termine generale è infinitesimo e adesso si tratta di capire se il termine generale è definitivamente decrescente, che con dei conti veloci sembra esserlo (ma non è questo il punto della domanda).
Mi chiedo e vi chiedo due cose: nella formula della differenza di arcotangenti figura un "misterioso" +pigreco, che non so se aggiungere o meno.
Inoltre, c'è un modo per farla senza applicare questa proprietà?
Per quanto riguarda la convergenza assoluta, proprio sfruttando la proprietà precedente, si riesce facilmente a dire che è divergente grazie al criterio del confronto con la serie armonica 1/n.
Ma se non avessi usato quella proprietà?
Credo inoltre che il fatto che la seconda parte sia il termine generale di una serie telescopica qualcosa vorrà dire.... o no?
La seconda serie è invece $ \sum_{n=2}^infty (log n)^(n^2)/((2n)!) $
Vista la presenza del fattoriale ho provato ad usare il criterio del rapporto ma mi perdo con tutti i logaritmi che rimangono
Risposte
"peppe_89":
Inoltre, c'è un modo per farla senza applicare questa proprietà?
Volendo, per $x rarr +oo$:
$arctgx=\pi/2-1/x+1/(3x^3)+O(1/x^5)$
Ciao peppe_89,
Per la seconda serie proposta userei invece il criterio della radice: il risultato del limite è $+\infty$ e quindi non può esserci convergenza e siccome la serie proposta è a termini positivi possiamo senz'altro concludere che diverge positivamente.
Per la seconda serie proposta userei invece il criterio della radice: il risultato del limite è $+\infty$ e quindi non può esserci convergenza e siccome la serie proposta è a termini positivi possiamo senz'altro concludere che diverge positivamente.
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