Risolvimi questo limite senz de l'hopital (forma 0/0)

[marione111]

$ lim_(x->0)$ $arctan ((log(cos^2 x))/(arctan(x^2))) $ $= -pi/4$

ecco cosa ho fatto io:

$=$ $ lim_(x->0)$ $arctan( (log(cos^2 x))/(arctan(x^2)) )/((log(cos^2 x))/(arctan(x^2)) ) (log(cos^2 x))/(arctan(x^2))$

$= $ $ 1* lim_(x->0) $ $ ((x^2)/arctan(x^2)) (log(cos^2 x))/(x^2) $

$= $ $ 1*1 lim_(x->0) $ $ ((log[(cos^2 x -1) +1])/(cos^2 (x-1))) (cos^2 (x-1))/(x^2)$

$= $ $ 1*1*1 lim_(x->0) $ $ -(sin^2(x))/(x^2) = -1$

Che errore ho fatto per trovarmi -1?

[Rigel1]

Mi sembra che quel limite valga effettivamente \(-1\).

[marione111]

scusate ho dovuto editare perché avevo lasciato il denominatore fuori dall'argomento, ora è a posto.

"Rigel":Mi sembra che quel limite valga effettivamente \(-1\).

Eppure non è solo il risultato del libro, anche con un calcolatore online mi da come risultato $-pi/4$

[Sk_Anonymous]

Con un po' di acrobazie algebriche quel limite lo scriverei così:
$L=arctan(lim_{x->0}({x^2}/{arctan(x^2)}\cdot (\ln(((1+1/{{-1}/{\sin^2x}})^{{-1}/{\sin^2x}}))^{{-\sin^2x}/{x^2}})))$
Applicando limiti noti risulta:
$L=arctan(1\cdot ln (e^{-1})=arctan(-1)=-{\pi}/{4}$

[Rigel1]

"marione111":scusate ho dovuto editare perché avevo lasciato il denominatore fuori dall'argomento, ora è a posto.

[quote="Rigel"]Mi sembra che quel limite valga effettivamente \(-1\).

Eppure non è solo il risultato del libro, anche con un calcolatore online mi da come risultato $-pi/4$[/quote]

Bella scoperta! Il limite che avevi scritto inizialmente valeva \(-1\), quello attuale vale \(\arctan(-1) = -\pi/4\).

[marione111]

"Rigel":[quote="marione111"]scusate ho dovuto editare perché avevo lasciato il denominatore fuori dall'argomento, ora è a posto.

[quote="Rigel"]Mi sembra che quel limite valga effettivamente \( -1 \).

Eppure non è solo il risultato del libro, anche con un calcolatore online mi da come risultato $ -pi/4 $[/quote]

Bella scoperta! Il limite che avevi scritto inizialmente valeva \( -1 \), quello attuale vale \( \arctan(-1) = -\pi/4 \).[/quote]

Si ma... l'errore l'avevo fatto solo in fase di scrittura sul forum, in pratica io mi trovo meno uno con la traccia giusta, anziché $-pi/4$ . Qual è l'errore? E' il primo passaggio che è abusivo?

[Rigel1]

Il primo passaggio (o meglio, il secondo) è "abusivo" perché usi il limite notevole per l'arcotangente, ma il suo argomento non sta tendendo a \(0\).

[marione111]

Così dovrebbe andare meglio:

$= $ $ lim_(x->0) $ $ arctan[ ((x^2)/arctan(x^2)) ((log{[(cos^2 x) -1] +1})/((cos^2 x)-1)) (-((sinx)/x)^2) ] $

So che l'argomento dell'arcotangente è $-1$ , ma formalmente in questo caso cosa faccio per cambiare la variabile? Non posso mettere una variabile per ogni fattore, dovrei trovarne una unica per tutti? Sono andato un po' nel pallone.

[Rigel1]

Calcola prima il limite dell'argomento dell'arcotangente (l'espressione fra parentesi quadre); dopo, usi il fatto che l'arcotangente è una funzione continua.

[marione111]

"Rigel":Calcola prima il limite dell'argomento dell'arcotangente (l'espressione fra parentesi quadre); dopo, usi il fatto che l'arcotangente è una funzione continua.

Scusami, intendevo "come calcolo formalmente l'argomento dell'arcotangente?". In questi casi con i limiti notevoli troverei che (nelle parentesi quadre) il primo fattore vale, uno, il secondo vale uno e il terzo vale meno uno. Ora, questo lo faccio ormai meccanicamente, ma ad essere precisi per usare i limiti notevoli dovrei ad esempio porre per il limite del secondo fattore $(cos^2 x)-1=y$ con $y->0$, passaggio che di solito salto. Ecco, ora che però ho più fattori, che faccio ? non riesco proprio a ricordare.

PS: non finirò mai di ringraziarvi siete fantastici

[Rigel1]

Calcola separatamente i tre limiti fra parentesi tonde, così per ciascuno di essi puoi usare il teorema di cambiamento di variabile.
Dopo usi il teorema sul prodotto di limiti finiti.

[marione111]

grazie