Risolvere un integrale

[Shackle]

Saluti . Nelle pagine che ho allegato sotto spoiler in questo messaggio, postato in fisica :

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=205372

l’autore si trova ad un certo punto (inizio 2º pagina , formula (24) ) a dover calcolare questo integrale :

$intsqrt(z/(a-z))dz $

e lo fa in una maniera che a me sembra un po’ contorta. È vero che ho dimenticato molti dei trucchi che adoperavo quando facevo certe cose, ma non c’è un modo più semplice per arrivare alla soluzione ?

[ot]PS : non dite che a norma di regolamento dovrei mostrare i miei tentativi di risoluzione ... [/ot]

[gugo82]

Si può fare la sostituzione $x = sqrt(z/(a-z))$ che dovrebbe razionalizzare il tutto.
Prova e vedi cosa ne viene fuori…

[Studente Anonimo]

Fai una prima sostituzione \( z/(a-z) = u \) e poi \( s=\sqrt{u}\). Se non ho sbagliato i conti dovresti ottenere qualcosa tipo \[ \int \sqrt{ \frac{z}{a-z}} \, dz = 2a \int \frac{s^2}{(a+s^2)^2} \, ds = 2a \left[ \int \frac{1}{a+s^2} \, ds - a \int \frac{1}{(a+s^2)^2} \, ds \right]. \]

[Shackle]

Ora provo a fare entrambe le sostituzioni da voi suggerite, grazie . Intanto l’integratore di Wolfram-Alpha mi dà questa soluzione :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... 8a-x%29%29

però, per accedere alla soluzione step by step , mi chiede di registrarmi alla sezione PRO , e vuole dei soldi...

[Lo_zio_Tom]

questo è molto più bello di Wolfram alpha e lo fa aggratiss

[Shackle]

Grazie tommik !
In effetti è molto più bello , e dà la soluzione step by step aggratiss! Memorizzo subito il link del sito .