Risolvere successione ricorsiva
Salve nell'esame di analisi ho un esercizio che chiede:
Si studi la monotonia e l'eventuale limite della successione ricorsiva $a_{n+1}=(2a_n)/(a_n+1)$, supponendo che il dato iniziale $a_0$ non negativo.
Io ho pensato che $a_0$ se non deve essere negativo sarà 1.
Ma così mi viene tutta la successione uguale a 1..
Quindi la funzione non è ne decrescente ne crescente.. è quindi monotona?
Sto sbagliando qualcosa?
Su internet ho trovato poco e niente..
e altra domanda.. il limite come lo calcolo?
Grazie
Si studi la monotonia e l'eventuale limite della successione ricorsiva $a_{n+1}=(2a_n)/(a_n+1)$, supponendo che il dato iniziale $a_0$ non negativo.
Io ho pensato che $a_0$ se non deve essere negativo sarà 1.
Ma così mi viene tutta la successione uguale a 1..
Quindi la funzione non è ne decrescente ne crescente.. è quindi monotona?
Sto sbagliando qualcosa?
Su internet ho trovato poco e niente..
e altra domanda.. il limite come lo calcolo?
Grazie
Risposte
Perchè $a_0$ dovrebbe essere uguale a 1? Se lo è, allora è vero che ottieni una successione costante, ma stai semplicemente considerando un caso particolare di quelli proposti dal problema. Prova a considerare casi in cui $a_0!=1$ e vedi che succede.
E' carino come esercizio, ma nemmeno troppo difficile se ci pensi bene!
E' carino come esercizio, ma nemmeno troppo difficile se ci pensi bene!
Se provo altri numeri positivi come 2 o 3 tendono comunque ad andare a 1. Giusto?
Quindi qualunque numero positivo metto, dopo un certo intervallo tende a 1.
In modo decrescente anche, quindi è monotona decrescente?
Il limitè è 1? Se calcolo il limite della funzione però mi va a 2.
Quindi qualunque numero positivo metto, dopo un certo intervallo tende a 1.
In modo decrescente anche, quindi è monotona decrescente?
Il limitè è 1? Se calcolo il limite della funzione però mi va a 2.
Stiamo parlando di successioni, non generalizzare troppo che poi ti complichi la vita.
Se mandi al limite per $a_n ->+oo$ fai esattamente l'errore che chi ha scritto questo esercizio si aspetta!
Perchè?
Per quanto riguarda il resto sei quasi sulla buona strada, però pensa bene a cosa succede se consideri $a_0 < 1$, oppure $a_0>1$.
Se mandi al limite per $a_n ->+oo$ fai esattamente l'errore che chi ha scritto questo esercizio si aspetta!
Perchè?Per quanto riguarda il resto sei quasi sulla buona strada, però pensa bene a cosa succede se consideri $a_0 < 1$, oppure $a_0>1$.
Prendendo $a_0 < 1 $ la successione invece è crescente e tende sempre a 1.
Come calcolo il limite allora?
questo proprio non lo so.. guardando i risultati direi che il limite tende a 1.
Come calcolo il limite allora?
questo proprio non lo so.. guardando i risultati direi che il limite tende a 1.
Quest'ultima considerazione è giusta!
Per calcolare il limite devi cercare di scriverla in modo non ricorsivo (ti serve farlo anche per giustificare il suo tendere a 1 "da sopra" o "da sotto").
Se fai qualche conticino ce la dovresti fare, ti consiglio di scrivere i primi elementi della successione, tutti in funzione del primo termine $a_0$.
Per calcolare il limite devi cercare di scriverla in modo non ricorsivo (ti serve farlo anche per giustificare il suo tendere a 1 "da sopra" o "da sotto").
Se fai qualche conticino ce la dovresti fare, ti consiglio di scrivere i primi elementi della successione, tutti in funzione del primo termine $a_0$.
Ci sto provando ma non combino mi fai come esempio questa successione se puoi? grazie mille dell'aiuto
mi fai come esempio questa successione se puoi? grazie mille dell'aiuto
Se hai scritto i primi termini mi sembra strano che tu non ci riesca! Comunque guardali bene ora:
$a1=(2a_0)/(a_0+1)$ $a_2=(4a_0)/(3a_0+1)$ $a_3=(8a_0)/(7a_0+1)$ $a_4=(16a_0)/(15a_0+1)$ $a_5=(32a_0)/(31a_0+1)$ ..
$a1=(2a_0)/(a_0+1)$ $a_2=(4a_0)/(3a_0+1)$ $a_3=(8a_0)/(7a_0+1)$ $a_4=(16a_0)/(15a_0+1)$ $a_5=(32a_0)/(31a_0+1)$ ..
aaaah capito.. 
non so perché io facevo la sostituzione di a0 in a1 e cosi via ma poi non li risolvevo del tutto..
grazie mille veramente..
non so perché io facevo la sostituzione di a0 in a1 e cosi via ma poi non li risolvevo del tutto.. grazie mille veramente..
Sì ma prova a concludere ora, non è mica finito così! Scrivi l'espressione non ricorsiva di questa successione ora!
$a_n=(2^n*a_0)/((2^n-1)*a_0+1)$ giusto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo