Risolvere sistema per trovare massimi e minimi vincolati e non in due funzioni
Ciao, mi sto preparando all'esame di analisi due e sul programma ho due tipi di esercizi che, risolvendosi entrambi con un bel sistemone, mi creano non pochi problemi.
Devo trovare i punti di estremo libero e vincolato in due funzioni. Nel primo caso (estremi liberi) ho un sistema in 2 equazioni e 2 incognite, mentre nel secondo ho un sistema in 3 equazioni e 3 incognite e in entrambi i casi, salvo rarissimi casi, non riesco a trovare le soluzioni.
Ad esempio ho il seguente esercizione dove mi chiede di trovare gli estremi liberi:
[tex]f(x, y)=(x−2)^{2}(x^{2}-9y^{2})[/tex]
Faccio quindi le dirivate parziali rispetto ad x e rispetto ad y e scrivo il sistema:
[tex]\left\{\begin{matrix}2(x-2)(x^2-9y^2)+2x(x-2)^2=0\\ -18y(x-2)^2=0\end{matrix}\right.[/tex]
Provando a risolvere il sistema eseguendo sostituzioni mi vengono fuori i seguenti punti stazionari:
[tex]P_{1}=(-2,\frac{4}{3})[/tex]
[tex]P_{2}=(-2,\frac{-4}{3})[/tex]
Mentre guardando le soluzioni (compito di esame risolto) deve venire fuori:
[tex]P_{1}=(0,0)[/tex]
[tex]P_{2}=(1,0)[/tex]
[tex]P_{3}=(2,y_{0})[/tex]
Vorrei chiedervi gentilmente quale metodo devo eseguire per risolvere questo tipo di sistemi (compreso quello in 3 equazioni e 3 incognite).
Grazie!
Devo trovare i punti di estremo libero e vincolato in due funzioni. Nel primo caso (estremi liberi) ho un sistema in 2 equazioni e 2 incognite, mentre nel secondo ho un sistema in 3 equazioni e 3 incognite e in entrambi i casi, salvo rarissimi casi, non riesco a trovare le soluzioni.
Ad esempio ho il seguente esercizione dove mi chiede di trovare gli estremi liberi:
[tex]f(x, y)=(x−2)^{2}(x^{2}-9y^{2})[/tex]
Faccio quindi le dirivate parziali rispetto ad x e rispetto ad y e scrivo il sistema:
[tex]\left\{\begin{matrix}2(x-2)(x^2-9y^2)+2x(x-2)^2=0\\ -18y(x-2)^2=0\end{matrix}\right.[/tex]
Provando a risolvere il sistema eseguendo sostituzioni mi vengono fuori i seguenti punti stazionari:
[tex]P_{1}=(-2,\frac{4}{3})[/tex]
[tex]P_{2}=(-2,\frac{-4}{3})[/tex]
Mentre guardando le soluzioni (compito di esame risolto) deve venire fuori:
[tex]P_{1}=(0,0)[/tex]
[tex]P_{2}=(1,0)[/tex]
[tex]P_{3}=(2,y_{0})[/tex]
Vorrei chiedervi gentilmente quale metodo devo eseguire per risolvere questo tipo di sistemi (compreso quello in 3 equazioni e 3 incognite).
Grazie!
Risposte
Sei sicuro che quelle siano le derivate parziali?
"vict85":
Sei sicuro che quelle siano le derivate parziali?
No infatti, chiedo scusa ma avevo ricopiato il primo passaggio per risolvere il sistema, ho mofificato il primo post
Ora mi torna.
In ogni caso una soluzione banale è \(x = 2\) perché (x-2) divide entrambe le derivate parziali. Nota che è una retta.
A questo punto, avendo eliminato queste soluzioni, puoi dividere entrambi per \((x-2)\) e passare a risolvere il sistema che esce fuori.
Noti quindi che per la seconda derivata parziale si annulla sulla retta \(y = 0\) (oltre alle soluzioni già trovate). Altrove è invece diversa da 0. Sostituendo nella prima derivata y con 0 dovresti trovare un sistema di secondo grado le cui soluzioni immagino siano quelle date nelle tue soluzioni.
In ogni caso una soluzione banale è \(x = 2\) perché (x-2) divide entrambe le derivate parziali. Nota che è una retta.
A questo punto, avendo eliminato queste soluzioni, puoi dividere entrambi per \((x-2)\) e passare a risolvere il sistema che esce fuori.
Noti quindi che per la seconda derivata parziale si annulla sulla retta \(y = 0\) (oltre alle soluzioni già trovate). Altrove è invece diversa da 0. Sostituendo nella prima derivata y con 0 dovresti trovare un sistema di secondo grado le cui soluzioni immagino siano quelle date nelle tue soluzioni.
Ho provato a risolvere il sistema come mi hai consigliato di procedere (cioè dividendo per la prima soluzione), però non riesco a risolverlo:
[tex]\left\{\begin{matrix}2(x-2)(x^2-9y^2)+2x(x-2)^2=0\\ -18y(x-2)^2=0\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}2(x^2-9y^2)+2x(x-2)=0\\ -18y(x-2)=0\end{matrix}\right.[/tex]
Dalla seconda equazione ricavo che [tex]\left\{\begin{matrix}x=2\\ y=0\end{matrix}\right.[/tex]
Sostituendo [tex]x=2[/tex] nella prima equazione ottengo [tex]\left\{\begin{matrix}x=2\\ y=\frac{\sqrt{72}}{36}\end{matrix}\right.[/tex]
Chiedo scusa ma ormai sto delirando
[tex]\left\{\begin{matrix}2(x-2)(x^2-9y^2)+2x(x-2)^2=0\\ -18y(x-2)^2=0\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}2(x^2-9y^2)+2x(x-2)=0\\ -18y(x-2)=0\end{matrix}\right.[/tex]
Dalla seconda equazione ricavo che [tex]\left\{\begin{matrix}x=2\\ y=0\end{matrix}\right.[/tex]
Sostituendo [tex]x=2[/tex] nella prima equazione ottengo [tex]\left\{\begin{matrix}x=2\\ y=\frac{\sqrt{72}}{36}\end{matrix}\right.[/tex]
Chiedo scusa ma ormai sto delirando
Il problema è che sbaglio proprio il ragionamento di fondo.
Se tu hai f(x)g(y) = 0 allora le soluzioni NON sono \(\displaystyle f(x)=0 \wedge g(y)=0 \) ma \(\displaystyle f(x)=0 \vee g(y)=0 \). Ovvero \(\displaystyle xy = 0 \) quando uno dei due è zero, ma non necessariamente entrambi. Stessa cosa per prodotti con più fattori.
Nel tuo caso da \(\displaystyle 18y(x-2) = 0 \) ricavi \(\displaystyle y = 0 \) oppure \(\displaystyle x = 2 \). Ovvero sono soluzioni della seconda equazione i punti del tipo \(\displaystyle (s,0) \) e \(\displaystyle (2,t) \) dove \(\displaystyle s,t \in \mathbb{R} \).
La prima equazione è \( 2(x-2)\bigl[2x^2 - 9y^2 -2x \bigr] =0 \). Quindi le soluzioni sono date da \(\displaystyle x = 2 \) e dalle soluzioni di \(\displaystyle 2(x^2 -x) = 9y^2 \).
Le soluzioni comuni sono date da \(\displaystyle x = 2 \), ovvero i punti \(\displaystyle (2,t) \), e dall'intersezione tra la retta \(\displaystyle y=0 \) e la conica \(\displaystyle 2(x^2 -x) - 9y^2 = 0 \) (è un'iperbole). L'intersezione è data da \(\displaystyle \begin{cases}2x(x-1) = 0 \\ y = 0 \end{cases} \) ovvero avviene nei punti \(\displaystyle (1,0) \) e \(\displaystyle (0,0) \).
Se tu hai f(x)g(y) = 0 allora le soluzioni NON sono \(\displaystyle f(x)=0 \wedge g(y)=0 \) ma \(\displaystyle f(x)=0 \vee g(y)=0 \). Ovvero \(\displaystyle xy = 0 \) quando uno dei due è zero, ma non necessariamente entrambi. Stessa cosa per prodotti con più fattori.
Nel tuo caso da \(\displaystyle 18y(x-2) = 0 \) ricavi \(\displaystyle y = 0 \) oppure \(\displaystyle x = 2 \). Ovvero sono soluzioni della seconda equazione i punti del tipo \(\displaystyle (s,0) \) e \(\displaystyle (2,t) \) dove \(\displaystyle s,t \in \mathbb{R} \).
La prima equazione è \( 2(x-2)\bigl[2x^2 - 9y^2 -2x \bigr] =0 \). Quindi le soluzioni sono date da \(\displaystyle x = 2 \) e dalle soluzioni di \(\displaystyle 2(x^2 -x) = 9y^2 \).
Le soluzioni comuni sono date da \(\displaystyle x = 2 \), ovvero i punti \(\displaystyle (2,t) \), e dall'intersezione tra la retta \(\displaystyle y=0 \) e la conica \(\displaystyle 2(x^2 -x) - 9y^2 = 0 \) (è un'iperbole). L'intersezione è data da \(\displaystyle \begin{cases}2x(x-1) = 0 \\ y = 0 \end{cases} \) ovvero avviene nei punti \(\displaystyle (1,0) \) e \(\displaystyle (0,0) \).
Grazie ancora una volta, qualcosa ho capito ma non tutto. Ti chiedo se potresti darmi una mano a capire come si trovano le soluzioni su questo esercizio:
Ho il seguente esercizio:
[tex]f(x,y)=y^2x(y-x+1)[/tex]
Viene fuori il seguente sistema:
[tex]\left\{\begin{matrix}y^2(y-2x+1)=0\\yx(3yx-2x+2)=0 \end{matrix}\right.[/tex]
Vedendo le soluzioni dovrebbero venire i punti:
[tex]P_{1}(0,-1)[/tex]
[tex]P_{2}(x_{0},0)[/tex]
[tex]P_{3}(\frac{1}{4},-\frac{1}{2})[/tex]
Mentre a me vengono fuori delle cose mai viste
Il mio ragionamento sarebbe quello di trovare le soluzioni della prima equazione, che mi verrebbero [tex]P_{1}(x,0)[/tex] e [tex]P_{2}(x,2x-1)[/tex]. Sostituisco [tex]y[/tex] nella seconda equazione ma non so più come andare avanti visto che spezzandola mi ritrovo:
[tex]\left\{\begin{matrix}xy\\3yx-2x+2 \end{matrix}\right.[/tex]
e non so proprio come risolverla. Grazie per l'infinita pazienza
Ho il seguente esercizio:
[tex]f(x,y)=y^2x(y-x+1)[/tex]
Viene fuori il seguente sistema:
[tex]\left\{\begin{matrix}y^2(y-2x+1)=0\\yx(3yx-2x+2)=0 \end{matrix}\right.[/tex]
Vedendo le soluzioni dovrebbero venire i punti:
[tex]P_{1}(0,-1)[/tex]
[tex]P_{2}(x_{0},0)[/tex]
[tex]P_{3}(\frac{1}{4},-\frac{1}{2})[/tex]
Mentre a me vengono fuori delle cose mai viste
Il mio ragionamento sarebbe quello di trovare le soluzioni della prima equazione, che mi verrebbero [tex]P_{1}(x,0)[/tex] e [tex]P_{2}(x,2x-1)[/tex]. Sostituisco [tex]y[/tex] nella seconda equazione ma non so più come andare avanti visto che spezzandola mi ritrovo:
[tex]\left\{\begin{matrix}xy\\3yx-2x+2 \end{matrix}\right.[/tex]
e non so proprio come risolverla. Grazie per l'infinita pazienza
Chiedo scusa se sono così insistente ma tra 22 ore ho l'esame. Vorrei almeno capire il ragionamento basilare.
Grazie.
Grazie.
"davide12":
Grazie ancora una volta, qualcosa ho capito ma non tutto. Ti chiedo se potresti darmi una mano a capire come si trovano le soluzioni su questo esercizio:
Ho il seguente esercizio:
[tex]f(x,y)=y^2x(y-x+1)[/tex]
Viene fuori il seguente sistema:
[tex]\left\{\begin{matrix}y^2(y-2x+1)=0\\yx(3yx-2x+2)=0 \end{matrix}\right.[/tex]
Vedendo le soluzioni dovrebbero venire i punti:
[tex]P_{1}(0,-1)[/tex]
[tex]P_{2}(x_{0},0)[/tex]
[tex]P_{3}(\frac{1}{4},-\frac{1}{2})[/tex]
Mentre a me vengono fuori delle cose mai viste
Il mio ragionamento sarebbe quello di trovare le soluzioni della prima equazione, che mi verrebbero [tex]P_{1}(x,0)[/tex] e [tex]P_{2}(x,2x-1)[/tex]. Sostituisco [tex]y[/tex] nella seconda equazione ma non so più come andare avanti visto che spezzandola mi ritrovo:
[tex]\left\{\begin{matrix}xy\\3yx-2x+2 \end{matrix}\right.[/tex]
e non so proprio come risolverla. Grazie per l'infinita pazienza
Il ragionamento è lo stesso che ti ho detto prima.
\(y=0\) è soluzione di entrambi, quindi lo sono i punti \(p=(t,0)\). Possiamo quindi dividere la prima per \(y^2\) e la seconda per \(y\).
\(x=0\) lo è della seconda equazione. Sostituendo nella prima ricavo y+1=0 ovvero il punto \(p=(0,-1)\).
Per il terzo ricavi \(x\) o \(y\) dalla prima e sostituisci nella seconda. Potresti anche trovare \(x\) o \(y\) nella seconda e sostituire nella prima. Avendo già trovato le soluzioni sugli assi avere un \(x \) al denominatore non è un grande problema.
Grazie per l'aiuto, ora ho capito!
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